CHAPITRE II

D*J POLYGONE FUNICULAIRE ET DES SYSTÈMES ARTICUliS

ÊQUIUBnE D UN FIL.

514. Dans la mécanique rationnelle, on admet qu'un fil est un système matériel afTectanl la forme d'une ligne, c'est-àdire n'ayant ni largeur, ni épaisseur; le fil idéal est, en général, considéré comme inextetisible et sans raideur^ c'€st4- (lire que sa longueur est regardée comme invariable, quelles que soient les forces qui agissent sur lui pour retendre, et (|u'on peut le courber, l'infléchir, lui faire dessiner telle lii;ne qu'on voudro, courbe ou brisée, sans éprouver aucune résistance. Los (ils, les cordos , que l'on rencontre dans les applications, sont loin d'avoir ces propriétés; ils settMident sous 1 action dos forces qu'on leur applique, ils no peuvent être courbés sans elforl , et la raideur s\ «12nilesto par la courbure qu'ils prennent aux environs des points où Ton veut changer leur direction d'une manière l>rnsque.

Le problème (jue nous nous proposons consiste à déterminer la fornie d'équilibre d'un fd parfait soumis à des forces donnres, et de trouver les tensions développées en ses différenis points.

La tension d'un fil on un point donné est la réaction mutuelle des deux portions de fil qui se réunissent l'une à l'autre on ce point. Si Ton coupe un fil en équilibre en

TENSiOS D'tiN FIL il faudra

un certain point, il faudra, pour n'Hablir l'équilibre de chaque portion, appliquer deux forces égales el contraires lux exlrémilés des tronçons séparées par la coupure; ces forces ne sont autre chose que la tension du fil au point COnsidi^ré.

310. Il résulte de là cjuc toute portion d'un fil en équilibre est en équilibre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées et des deux tensions qu'elle subit à ses extrémités. On peut démontrer, en s'nppuyant sur cette relarquc, que dans m fil parfait soumis ù îles forces réparties dune mamiie continue sur sa hwjuetir [comme la pesanteur, \r exemple), la tension est en chaque point tangente à la ligne Messiitéepar le fil. Soit, en effet, un fil MN en équilibre sous ''•clion de forces ainsi réparties. Considérons isolément un élément infiniment petit, AB; cet éléml est en équilibre sons l'action des ji f^-— =^

lions T el T, qui sont des forces finies f^^^'"*'T^ ppliquées ù ses extrémités, et des forces ' pxiu

ilJnimenl petites réparties de A en D; forces sont, par hypothèse, sensiblent parallèles, et leur résultante est proportionnelle î igueur de l'élément : elle peut, par suite, être exprimée nrle produit pxAB, où p représente un nombre fini, et

I'elle est appliquée on un point i, intermédiaire entre A et 6. puisqu'il y a équilibre entre les forces T, T' et ;) x Al), nous (|K)UVons écriie l'équation des moments par rapport à un point (quelconque, et prenant le point A pour centre des moments, jÛ vient

Il T'xA = pXAtlxA',

pétant ta distance du point A h la direction de la force T',

IctV la distance du même point à la direction de la force

fpxAB.

, Or h' est nécessairement moindre que AB, et pxAB x h'

lest plus petit que pxAB*, quantité infiniment petite du

second ordre; le produit égal, Vxh, est donc aussi infiiii-

Fig. ÎT..

496 TENSION OXN FIL.

ment petit du second ordre : et comme T est une force finie, h est un infiniment petit du second ordre, ou du même lordre de grandeur que le carré Je la longueur AB. La direction de la tension en B est donc telle qu'un point A, infiniment voisin du point B, pris sur la courbe MN, soit à une distance infiniment petite du second ordre de cette direction ; en d'autres termes elle est tangente à la courbe MN au point B*. Si, outre les forces infiniment petites réparties d'une manière continue le long du fil MN, on appliquait au fil une force finie isolée F, le raisonnement précédent ne serait plus admissible pour un élément qui comprendrait le point d'oppli-

cation A de cette force ; la forme d'équilibre du fil présenterait un point anguleux, et la tension varierait d'une manière brusque, eo grandeur et en direction, d'un côté à Tautre de ce point A. Dans chaque branche AM, AN, les tensions seraient encore tangentes à la Fig. 298. courbe d'équilibre ; mais au point A on aurait

deux tensions, l'une T^, tangente à la branche AM, l'autre T,, tangente à la branche AN ; ces deux tensions feraient équilibre à la force F. On obtiendrait donc ces deux tensions en décomposant la force F suivant les directions des tangentes aux branches qui se réunissent en A.

POLYGONE FUMCULAIRE.

316. On appelle polygone funiculaire la figure d'équilibre d'un fil idéal, non pesant, sollicité en différents points de sa longueur par des forces de grandeur et de direction connues.

Un Cl sans poids, soumis à deux forces F^ , F, , appliquées à

* Celte démonstration suppose expressément que le ûl soit sans raideur; autrement il y aurait à considérer au point A, non-seulement une tension T, mais encore un couple dû à la couibure du ûl en ce point.

rOLÏGOSB FUNICrLAinE. 4S7

SCS detis exlrémilés A et B, est en équilibre si ces deux forces tendent :i allonger le fil, et si elles sont égales.

La tension du fil est égale en lout point ù la valeur com* inune de ces deux forces. Si, en effet, on coupe le lil en un point C, il faudra, pour rétablir l'équilibre, appliquer à f^ 1 T^ c'^y. S — ï

l'estrémitè C du tronçon AC,

considéré seul, une force T,,

égale et contraire à F,, et à l'exlrémiléCdu tronçon CB une

force T,, égale et contraire à F,. On a donc

317. En un point C du iil sans poids AB, appliquons une force F de direction connue, et cherchons quelles foices F, , F,, il faut appliquer suivant les f-, directions des cordons CA, CB, pour qu'il y ait équilibre.

Du point A au point C, le fil n'est soumis, par hypothèse, à aucune autre force extérieure que la force F,; donc la tension en tous les points de ce cordon est ^'e- 3""

^le à F, 1 de même la tension est égale a F, en tous les points du cordon BC.

Kous pouvons ainsi considérer le point C du fil comme un point matériel isolé, en équilibre sous l'action de la force F, et des tensions F, et F, , appliquées suivant les directions CA, CB, et par suite la force F est égale et contraire à la résultante des forces F, et F,; on trouvera donc les tensions des deux cordons, et les forces qu'il faut appliquer dans leur prolongement, en décomposant la force — F, égide et opposée à la force F, suivant les directions données CA, CB.

Leslcnsions sont généralement inégales dans les deux brins CA, CB : elles deviennent égales quand la direction CF est bissectrice de l'angle ACB.

Supposons encore que la force F, au lieu de solliciter

POLYGO!!E

directement le point C, soit appliquée dans le prolongement (l*un cordon CD, attaché au point G (fig. 301). La solution sera la même, car le point G, considéré isolément, se troate sollicité à la fois par les tensions des cordons CA, CB, CD, t'îïales respectivement aux forces F^ , F, , F. Chacune de ces torces est donc égale et contraire à la résultante des deux iiulros.

Fij;. r»« I.

Fig. 3.'>i.

7)18. Si le cordon CD (fig. 302) était attaché à un anneau, lihrode glisser sans frottement le long du fil ACB, Téquilibre exigerait que les forces F^ et F, fussent égales : autrement lefil \C\\ serait tMitraîné à glisser dans Tanneau du côté où le soilioilorail la plus grande des deux forces F^, F,; le frottement dt' raniicau contre le lil i'ï>l en efrel la <^eule résistance capable dtM niiiu»-halan((M- cviio tendance, et nous supposons qu'il est nul. Pans ce cas, l^ et \\ étant é^^ales, la direction du corJon (Ih e^l hissecliice (\v l'aiii^le AllB. -

S(»it AlU! un fil inextensible, attaché aux points lîxes A eti»

(lig. 505); soient C un anneau intlniiueiil petit, libre de glisser sur le lil sans fiollenient, et F une force appliquée à Tanneau de manière à tendre à la fois les deui portions du (il. 1/anneau sera en équilibre dés que la direciion de la force F sera bissectrice de Fangle ACB. Or le lieu des positions de Fanneau dans le plan de la ligure est l'ellipse qui a pour foyers les points A et B, el pour grand axe la longueur du fil, CA -h CB. L'équilibre

h lu. ."o:..

FUflICUUIRE. W

. du point mobile C sur celle courbe a lieu quand la force qui le sollicite est normale à la courbe. On relrouve ainsi ce Ihiorcme de géoinélrie : la normale en un point de f ellipse partage en deux parties égales l'amjte formé par les droites menées de ce point aux deux foyers de la courbe.

319. Occupons nous enfin du cas général, c'est-à-dire de l'équilibre d'un fil sans pesanteur, ABCDE, sollicité aux poinls B, C, D, par des lorces F, F', F", et à ses eilrémités A et E par les forces It et S. Appelons T, , T, , T^ , T^ , les tensions des cordons successifs AB, ce, CD. DE.

L'équilibre du cordon AB, considéré isolL'nient, eiige que la force R agisse dans la direction de ce cordon; la tension T,. qui y est déveIop> pèe, fait équilibre à celle force, et par suite on a T, = R.

Le point B est sollicité .i la fois par trois forces, savoir les lenjions T, et T, des cordons BA, BC, et la force F. Cbacune de ces trois forces est donc égale ot opposée à la résultante des deux autres, et on trouvera la tension inconnue T, en ctMDposaut la force F avec la force B transportée au point B. On peut observer que les trois directions BA,BC,BF, sont contenues dans un même plan.

La tension T,, ainsi déterminée, régne en tous points du cordon BC ; il faut et il suflit pour l'équilibre de l'extrémilé C de ce cordon qu'il y ait équilibre entre les trois forces T^ , P ei T, ; !a tension T, est donc égale et contraire à la résultante des deux forces connues T, et F', et les trois directions CB.CD, CP, sont contenues dans un même plan.

On reconnaîtrait de même que la tension T, du quatrième cordon est égale à la résultante de \n force t" et de la tension T, du troisième cordon ; elle est d'ailleurs égale à la force S, qui sollicite le dernier cordon dans sa propre direction. On peut donc, pour délinir le polygone, donner en grandeur et en