POLYGONE

direction les forces R, F, F', F*', el les longueurs AB, BC, CD, DE, des cordons successifs qui séparent les poinfs d'application des forces. La construction du contour polygonal ABCDE fera connaître la grandeur et la direction de la force S qui reslait à déterminer.

Il est plus simple, pour trouver la grandeur de cette force, d'observer que S est égale et contraire à la résultante des forces extérieures R, F, F', F% qui sollicitent le système matériel ABCDE ; on aura sa valeur en transportant toutes ces forces en un même point, et en les composant par la règle du polygone. La résultante sera égale et parallèle à la force cherchée.

La construction de ce polygone auxiliaire a l'avantage de faire connaître du même coup les tensions des divers côtés du polygone funiculaire, et les directions de ces côtés; on lui donne le nom ie polygone de Varignon.

Par un point 0 quelconque (fig. 505), menons une droiteOr, parallèle à la force R et au premier côté AC (fig. 504), et prenons sur cette droite, à une échelle arbitraire, une longueur Or égale

à la force R. Par le point r ainsi obtenu menons une droite r/*, parallèle et égale à la force F. La droite Of est la résultante des forces Or et ?/ appliquées au point 0; celte droite O/'cst donc parallèle et égale à la tension Tj du second côté BC du polygone funiculaire, et par suite elle est parallèle à ce Fig. ôOo. second côté. Menons ensuite ff égale et pa-

rallèle à la force F'; la droite 0^' sera de même parallèle au côté CD, et égale à la tension T, ; enfin, menons f'f" égale et parallèle à F"; la droite 0/* qui ferme le polygone sera égale et parallèle à T^, c'est-à-dire à la force S, el déterminera cotte force en grandeur et en direction.

On peut observer que dans le polygone de Varignon les , deux côtés Or, Of\ qui aboutissent au point 0, et les diagonales menées de ce poinl aux autres sommets, représentent

les dircclions des côlùs successifs du pnlygonc funiculaire, et les valeurs des tensions qui y soni développées.

Remarquons encore que, si l'on considère une portion quelconque du polygone funiculuire, les tensions dans les cOlfs extrêmes qui limilent celle porlion, fonl équilibre aux forces extérieures appliquées aux sommets intermédiaires; ainsi, les tensions T, et T, font équilibre aux forces ¥' et F", et les tensions T, et T^ aux lorces F et F'.

320. Delà résulte un moyen de trouver la résullanfe de forces données situées dans un même plan.

Soient F, F'. F' (fig. 306), les forces données. En un point A de la direction de l'une d'elles, on appliquera une force quelconque AR ; on composera cette force R avec la force F Iransportéc en A, ce qui donnera une résultante Am. La direction de celle résultante, prolongée si cela est nécessaire, rencontre en D la direction de la force F'. Transportons en B Ips forces Am et F' ; puis composons-les, ce qui nous donnera la résultante Bn; prolongeons de même la direction de celle résultante, qui coupe la direction de F" enC; transportons en ce point les forces F" et Bn, et composons-Ies pour avoir leur résultante Cjt ; considérons enfin une force S, appliquée en C, égale et contraire à Çp. Nous pouvons imaginer un polygone funiculaire RABCS, qui sera en équilibre, en vertu de notre construction, sous Faction des forces R, F, F', F", S ; les forces extrêmes R et S représentent les tensions des côtés exti émes de ce polygone.

Ces forces R et S font équilibre aux forces F, F', F", cl leur résultante est égale et conlruire à la résultante cherchée. Prolongeons les directions AR, CS, jusqu'à leur rencontre en D; transportons en ce poiut les forces R et S, et achevons le parallélogramme DiPs ; la diagonale DP sera

^le et opposée à la résultante des forces donnéa. La draîto finie PD représentera donc en grandeur» en position et ca sens, la résultante cherchée.

poLTOom hbs forts auenusus»

521. Le tablier des ponte sospendus est sttaebé fm des tiges verticales équidistantes aux sommets d'un pelf gone funiculaire. Proposons-nous de trouwr la foraM d%-

quiiibre de ce pdygime et ksta- Icurs des tensions dèvetojqpées èm ses divers cétés, en supposant |k chaque tige ait à supporter un psife égal.

Soit ABCDEF un fragment du polfgone ; les poids ^ux , F, P, P....

sont suspendus aux sommets B,C|V,...

dont les distances horiiontaks ssat constantes et connues. Soient T«, T^ T,, ... les tensions développées dans les côtés successifs.

Construisons le polygone de Tarignon. Pour cela, par un point 0 quelcx)nquo, menons une droite Oa parallèle au cdté AB, et égale en longueur à la tension T^ de ce côté. Menons par le point d une droite verticale ai^ sur laquelle nous prendrons des longueurs successives ab, bcj cd, de, ... égales entre elles et au poids P suspendu à chacune des tiges. Joignons ensuite Ob^ Oc, Or/, Oe, ... ; ces droites seront parallèles aux cdtês BC, CD, DE, ... du polygone, et leurs longueurs respectiTes représenteront les valeurs des tensions T,, T,, T,, ... des mômes côtés.

Étant données la direction AB du premier côté, et la valeur Tq de la tension qui y est développée, la figure auxiliaire Oabcd ... permettra de construire le polygone; car on sait

Fig. 307.

DES l'OMS snspENnus. 6M

que les sommets de ce polygone se; trouvent sur les droites -équiilistantcs PB, P'C, V"D, ... ; on trouvera, par consôtiuenl, la position du sommet C sur la droite P'C en menant par le sommet D une parallûle BC h la droite Of> ; par le point C ainsi obtenu, on mènera à Oc une parallèle CD, (jui déterminera le jiointD sur la rtroite PD, cl ainsi de suite.

Supposoni:, pour fixer les idées, que ia chaîne polygonale du pontsuspenduail un cûtû horizontal ÂB,rî:iinissant deux parties symétriques (fig. 508); on aura, par exemple, à droite du cdié AB les trois câtés inclinés BC. CD, DE, et à gauche les trois cAtés AC, Ciy, P'E'. syinétriqui-s des premiers par rapport à la verticale lY, menée par le milieu du côlé rentrai. Les poinis E et E' sontk'S points d'attache, de la chaîne aux culées du pont. Dthignons encore par la lettre P le poids suspendu à Tun (juclconquc des sommets du polygone, à l'exclusion des som- Biels E et E', qui ne portent pas de poids semblables. Le poids total porté par la chaîne sera égal à 2iiP. en désignant par n le nombre des sommets L'iiargés dans la moitié du pont, et ce poids se parlage également, à cause de la symétrie de la figure et des charges, entre les deux appuis, E etE'. Cherclions la valeur de ta tension Tg dans le cAlé AB; pour cela, il suriil d'exprimer que cette tension fait équilibre, h l'aide de la réaction du point E, aux poids appliqués h la moitié de la chaîne; prenons les momenls par rapport au point E, ce qui élimine la réaction de ce point. Soit h la distance IG du calé AB à la droite horizontale EE'; et soit a la dislance horizontale entre deux tiges consécutives, distance que nous supposerons aus^^i enlrc le dernier sommet chargé D et la verlirjtle du point d'appui. Le moment de T, par rapport au poio' A est T„xft; il Tait équilibre à la somme des moments poids P, c'est-à-dire à

Pxiia + Pxtn — l)n + L>x(ii — 21n + ...-|-I'Xa.

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