DES FORGES PARALLÈLES
Ton joint la droite ac. On prend ensuite sur les deux autres cdtés BC, AD deux points b et d tels, qu'on ait, entre les huit segments ainsi déterminés, la relation
ou bien
Aa B6 Ce Dc/__
Puis on joint bd. ^*8- *^-
On propose de démontrer que les deux droites ac, bd sont dans un même plan, ou qu'elles ont un point 0 commun.
On y parviendra en faisant voir que ce point 0 est le centre de quatre forces parallèles appliquées respectivement aux sommets A, 6, C, D du quadrilatère.
Prenons arbitrairement la première, F, de ces quatre forces; nous déterminerons la seconde, F', de manière que la résultante des deux forces F et F' passe au point a ; il faut et il suffit, pour cela, qu'on ait
Afl F' aB~F'
De même déterminons la troisième, F", de manière que la résultante de F" et de F' passe au point b; nous aurons
La force F'"sera déterminée par la condition
C£F^' cb — F" '
et la résultante des forces F" et F'" passera au point c.
Pour trouver la résultante des quatre forces F, F', F", F'", on peut composer d'abord F et F', ce qui donnera une résultante appliquée au point a ; puis F" et F"', ce qui donnera une ré-
46 SUHFAGES GAUCHES
sultante appliquée au point c. La résultante de ces deux résultantes sera appliquée en un point de la droite ae.
On peut aussi composer F' et F% ce qui donnera une résultante appliquée en fc, puis F'" avec F, et la résultante de ces deux dernières forces sera appliquée au point d, puisque, en vertu de l'équalion de condition posée tout à l'heure, on a
Cb bU
^^ [iV/
Donc le point d'application de la résultante générale est situé en un point de la droite bd.
Ce point est à la fois sur les deux droites acj hd ; elles se rencontrent donc, et les quatre points a, bj c, d sont situés dans un même plan.
La surface engendrée par une droite mobile acy qui se mouvrait en s appuyant à la fois sur les deux côtés opposés AB, CD du quadrilatère gauche ABCD, et en partageant ces côtés en segments satisfaisant à la condition
DcX""^'
K étant un nombre constant, peut donc aussi être engendrée par une droite bd qui se mouvrait en s*appuyant sur les deux autres côtés du quadrilatère, en les partageant en segments remplissant la condition
Celle surface est une surface réglée du second degré. Elle peut être regardée comme engendrée par une droite mobile qui s*appuierait à la fois sur les trois droites AD, ac^ BC, ou bien par une droite mobile qui s'appuierait sur les trois droites AB, dby DC. C'est Vhypeiboloideàune nappe.hovsque le rapport
DU SEr.OSD DEGRÉ.
itjgalkrunilé.ladroiti
nioliilc a
it paral-
;t constamiiK lèle à un plan mené parsLIi'lenicnl aux cùlés l!C, DA ; de même M esl constamment parallèle à un plan mené paralliileaienl auxcôtés AB, CD. Lasurface a alors deux plans directeurs, et elle prend le nom de parabohide byperbolitiue.
57 . Troisihne exemple. — Sur les ciités successifs d'un contour abtdy composé de trois droites finies données, on prend au hasard des poinis, savoir:
le point [ab] Ei le point {lie) i\ le poinl [eit} m
' le cillé bc, ■ le cJiiÉ cil.
On Joint ensuilc le point o et le point (ftc), le point [ah) et le poinl Ci ces deus droites h he e
scampent en un poinl qu'on appelle {abc).
De même on joint (6c) et rf, b el (C(f), et CCS deux droites se coupent en un point qu'on appelle (bct\).
EiiGn un joint
le jioini a au point {bed) le point (ab) DU poinl [eil\, le point [ntt'j on point il.
On tlemande de démontrer que ces trois droites se coupent en un môme point 0 [qu'on pourrait appeler le point {abcd))\.
Appliquons aux sommcis u, b, c, à du conlour, des forces parallèles F, F', F", F'" telles, que les deux forces F el F' aient une résultante appliquée au point (ai), que F' et F" aient une résultante appliquée au point (bc), que F" et F'" aient une résultante appliquée en [cd).
Le point [abc), appartenant à la fois aux droites a{be] et (tf*)c, esl le point d'application de la résultante des forces F, \", F".
On prouverait de même que (bcd) est le point dapplicaliun de la résultante des forces F', F", F'".
THCORtlE
Grdce à ces conventions, on pourra exprimer la règle de la composition des forces parallèles d'une manière générale, qu'elles soient de même sens ou de sens dilTérenls :
Deux forces parallèles se a>mpasent en wte force parallèle è leur direction commune, égale en grandeur et en signe à leur somme algêbi ique, et appliquée en un point qui partage la distance des deux points d^aj^plication en deux segments dont le rapport soit égal au rapport inverse des forces adjacentes.
Si Ton a à composer des torces parallèles agissant les unes dans un sens, les autres dans le sens op| osé, on pourra composer ensemble toutes les forces agissant dans un sens, puis com|H)ser ensemble toutes les forces agissant en senscontrjire, entin composer par la règle précédente la résultanle du premier gmupe et la résultante du second.
11 est facile de reconnaître que les formules que nous avons données g 34, pour la composition des forces de même sens, s'appliquent également aux forces parallèles dirigées en sens différents, moyennant qu'on attribue aux forces données les signes -+- et — : le signe -f- quand elles agissent dans un sens, et le signe — quand elles agissent dans le sens opposé. Les formules deviennent générales quand on a recours à celte convention.
TnÉoiitsik: des transversales.
39. On peut démontrer, en s'aidant de la composition des forces parallèles, la proposition fondamentale de la théorie des transversales, connue en géométrie sous le nom de théorème de Camot ou de théorème de Ptolémée.
Cette proposition s'exprime ainsi qu il suit :
Une transversale droite abc rencontre les côtés d'un triangle
UËS TitANSVERSAI.ES. &I
ABC en troU pointu a, b, c, et détermine sur chaque côté deux legmentg, savoir :
oB, aC sur le eôlé BC, iC. bA lur Je cdW AC, eX, cB lur le c6lé AB.
Cela posé, le produit des trois segments qui n'ont aucune extrémité commune, oC x 6A x cB, est égal au produit des troig autres, flBxtCxcA.
Aux extrémités B et C du câté dont le prolongement rcnconlre la transversale, appliquons deux forces parallèles et de sens contraires, F' et P", dont nous déterminerons tout à l'heure le rapport.
La rèsnllanlc de ces deux forces sera appliquée quelque pu il sur la direction QC prolongée.
A^i point A appliquons deux forces égales et contraires, F cl — F; rinlroduction de ces deux forces, qui se détruisent, ne changera rien à la résultante du système des forces F cl F"; pour trouver cette résultante, on peut d'aliord composer les forces F' et F, ensuite composer les forces F" et — F, enfin composer les résultantes partielles obtenues dans ces opérations.
La force F est arbitraire ; nous pouvons donc faire en sorte (ju'on ait
b résultante de F et de F' passe alors au point c.
Prenons ensuite la force F" de manière que la résullanic des forces F" et — F passe au point 6 ; il faudra pour cela qa*on ait l'équation '
La résultante des forces F et F' passe au point c, et la résultante lies forces — ¥ et F' passe au point b. La résultante de ces deux résultantes, c'est-à-dire la résultante des forces F' MF'testdoncappliqui'-e en un certain point de la direction c6.
52 TOËORËME DES TRAXSVBRSÀLES.
Or elle est aussi appliquée en un certain point de la direction FG; donc enfin elle est appliquée au point a, intersection de ces deux directions.
Il en résulte l'égalité
r __aC
Multiplions membre à membre ces trois égalités, il viendra
F^ P^ F' . cB *A oC
ce qu*il fallait démontrer.
La réciproque résulte évidemment de la proposition directe.
La résultante partielle appliquée en c est égale à F+F', et kl résultante partielle appliquée en b est égale à F+P; de sorte que la statique nous donne aussi
F"+F""ac'
Mais des deux premières équations on tire
F-f F^ rB-l-cA AB F "^ cB "~cB'
F-hF" bX-hbC AC
Divisant, il vient
et par suite
F "" 6C "bc'
F-J-F AB bC F + F"""AC^cB'
AB 6C iî6
AC^a-"5J'
OU bien
ABx6Cx<ic=fl6xACXcB,
équation qui n'est autre cho^e que l'application du théorème au triangle Ac6, rencontré par la transversale recliligne BCa.
FÛKCES PAHALLKLES.
