SURFACES DE NIVEAU

donnent la même valeur à la fonction 9. Le lieu des points de Tespace où la tension a une valeur donnée, est donc la surface représentée par l'équation

ç>(aî, y, 5) = const., (4)

équation qui, en attribuant successivement à la constante différentes valeurs, représente une famille de surfaces le long de chacune desquelles la tension a une même valeur. Une fois la tension connue en un point de Tespace, elle est connue pour tous les autres, car cela suffit pour fixer la valeur qu'il convient d'attribuer à la constante.

Ces surfaces sont appelées surfaces de niveau ; nous les retrouverons dans la théorie des forces vives et dans l'hydrostatique. Leur principale propriété, c'est d'être en chaque point normales à la force F appliquée à ce point. C'est ce qu'indique réquation

que Ton obtient par hypothèse en différentiant l'équation (4) ; car elle exprime que la direction de la force F définie par les

X Y Z dx

cosinus -p, iT, p» fsiît ^^ angle droit avec une direction -7-» r r r ds

-^ , y , prise comme on voudra sur la surface définie par Te-

u s US

qualion (4).

Supposons, par exemple, que la forceFsoil la pesanteur, et qu'on prenne l'axe OZ vertical; on auraX=:0, Y =0 : de plus Z sera constant si le fil a partout le même poids par unité de longueur. Les surfaces de niveau sont alors définies par l'équation d» = 0, ou, en intégrant, par Téquation

qui représente une série de plans horizontaux. Il en serait de même si Z, au lieu d'être constant, était une fonction de %.

Tous ces résultats exigent que les conditions suivantes soient remplies :

1"* Il faut que X, Y, Z, soient exprimables en fonction de x, {/, Zy seuls;

PARADOLE DES FONTS SUSPESDUS. S13

2' II faut que \d£ ■+■ Ydy -+- Idz. soit une différentielle ciacte, c'est-à-dire que les fondions X, Y, 2, satisfassent aux égalités

dX rfï rfX rfZ dV rfZ

PARABOLE DES POMS SCSFEKDUS,

327. Cherchons ta courbe d'équilibre dessinée par un CI qui serait sollicité par des poids répartis uniformément sur la projection horizontale de ce lîl, à raison de p kilogrammes par unité de longueur. Prenons l'axe des > vertical et montant. Nous aurons d'abord X — 0, Y=0; pour évaluer Z, remarquons que Ids représente dans nos équations la force totale qui agit sur l'cléraent tls; or ici ce n'est pas Z qui est constant, car il en résulterait que le iil serait chargé d'un poids constant par unité de longueur mesurée sur le fil lui-mâine. L'élément ds fait avec le plan horizontal un angle

dont le sinus est :r ; le cosinus de cet angle est \ / 1 — ;—.'

ds V «'^

et l'arc ds a pour projection horizontale •^ds' — dz'- ou Vdx' + di/'. C'est à celte longueur que s'applique le poids constant p, et l'on doit avoir

P^d«'+ds* = — Ml,

d'où résulte

Le signe — indique que la force Zds est dirigée en sens contraire de l'axe OZ.

Les trois équations d'équilibre nous donnent donc