U PARABOLE

On lire des premières

A et B étant des constantes.

Ces équations nous apprennent que les composantes horizontales de la tension sont constantes en tous les points de la courbe.

Si Ton multiplie la première par dy^ la seconde par dx^ et qu'on retranche, il vient l'équation

kdy — ^dx = 0,

qui intégrée donne

Ay — Bx=C,

équation d'un plan vertical. La courbe est donc plane. Nous pourrons prendre le plan de la courbe pour plan des ZOK; cela revient à faire t/ = 0 et dt/ = 0. La troisième équation devient alors

Intégrant, on a

G désignant une nouvelle constante, et par suite on a à la fois

Multiplions la première par dz et la seconde par dx, et rclranchons ; il viendra

0 = Adz — Gdx — pxdx,

et en iiitégrant

H = As — Ga: — âP^*$

DES POMS SUSPENDUS. 5)5

équation d'une parabole; H est une nouvelle conslanlc. U tension T s'obtient en ajoutant les mêmes équations élevées au carré; il vient en clTol

La solution contient 5 constantes arbitraires si l'on ne connaît pas d'avance le plan vertical contenant la courbe, cl 3 seulement si l'on connaît ce plan. Supposons qu^on donne deux points delà courbe; leplan verlical qui la renferme sera déterminé par ces deux points, sauf le cas où les deux points seraient situés sur la même verticale. Il n'y aura donc plus que ô constantes à déterminer, A, G et H. On y parviendra eneiprimanl que la courbe passe par chacun des poinis donnés, et qu'elle a une longueur donnée entre ces deux points ; ce qui fournira en effet 5 équations distinctes, permettant de déler-

I miner 3 inconnues.

Si les deux points donnés étaient sur la même verticale, la

f parabole se changerait en celte verticale elle-même ; on aurail A=0, X aurait une valeur constante, et p serait infini.

Ce problème n'admet pas de surfaces de niveau, parce que les valeurs de X, Y, Z, ne sont pas exprimables à priori en fonction des coordonnées J, !/,«.

528. On parvient géométriquement aux mêmes résultats. Le fil en équilibre est tout entier contenu dans le plan vertical; la force qui sollicite chaque élément étant parallèle

„ à une même direction, l'indicatrice des tensions est plane ; la courbe funiculaire l'est aussi, puisque tous ses plans osculateurs sont parallèles au plan de l'indicatrice.

Supposons, pour plus de simplicité, que le fil ABC soit attaché à des points fixes A et C, situés à égale hauteur ; soit 1!

I son point le plus bas. Les

I poids qui te sollicitent sont sup-

I posés uniformément répartis

" suivant l'horizontale; p est le ..b—.

i| poids qui charge le fil par unilé de longueur horizontale; soit 2<J la portée AC , partagée au point il en deux parties