PARABOLE
égales. La résullante des poids appliqués à une moitié, BC, sera égale à pa, et celte force passera en un pcnnt 1, milieu de Bc. Appelons T^ la tension du fil au point B; la force horizontale T^ et la force verticale pa font équilibre à la tension du fil au point C ; prenons les moments par rapport à ce point; nous aurons pour déterminer T^ l'équation
ou bien
f étant la flèche Bft, égale à la hauteur Ce du point d'attache audessus du point le plus bas. La tension au point G est tangente à la courbe formée par le fil ; et comme elle fait équilibre aux forces T, et pa^ les directions des trois forces se coupent en un même point j c'est-à-dire au point I; on obtient donc h tangente à la courbe en un point C quelconque en joignant ce point au milieu de la projection de l'arc BC sur la tangente Be au sommet B. Plus généralement deux tangentes quelconques, menées à la courbe^ se coupent sur la droite menée, parallèlement à l'axe, par le milieu de la corde qui joint les points de contact.
Ces propriétés définissent la parabole. Pour trouver l'équation de la courbe, considérons un arc quelconque BM, commençant au point B. Soit Bm=a; et mM=2 les coordonnées du point M.
L'arc BM est en équilibre sous l'action de la force horizontale T^, du poids Dm X p, vertical et appliqué au milieu n de la distance Dm, et enfin de la tension au point M. Prenant les moments par rapport à ce dernier point, on aura l'équation
T. X Mm = (Bm Xp)X B»,
OU bien
DES PONTS SUSPENDES. 517
équation d'une parabole rapportée à son axe 66 et à la tangente en son sommet.
La composante liorizontale de la tension en un point quelconque est constante et égale à T,,
329. La chfdnette est la courbe d'équilibre d'un fil homogène pesant. Elle diffère de la parabole, avec laquelle on l'a d*abor(l confondue, en ce que le poids p, au lieu d'être uniformément réparti sur l'horizontale, est uniformément réparti suivant la courbe elle-même. Il résulte de là qu'il y a très peu de dilTércncc entre la chaînette et la parabole dans la région Toisine du sommet B des deux courbes; car dans cette région il y a une différence insensible entre la longueur de l'arc de courbe et la longueur de sa projection.
Prenons l'axe des z vertical et montant ; nous aurons X(/s=0, Vdi=:0,Ztls=: — prfs, et les équationsd'équilibre deviendront
Des deux premières on déduirait, comme dans le problème précédent, que la courbe est tout entière contenue dans un plan vertical. Prenant ce plan pour plan des ZOX, ce qui revient ù faire y = 0, on est ramené aux deux équations
Intégrons. Il vient, A et B étant des constantes,
hi B«rib,e
1b ma $ k flir àm poiai le plus bas, pour '
p, 4k h toMB M r«tf k |tM en de b eourbs. Kon
alinéa eiSpH le vliisbas, BOUT ^
Bia^nicliÎMlaas; 9 neot
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^fM r«a pnl wlignar pv ^Miralnre. La i^emiëre peut se mtOrtumsUtêime
Ûi «t Maiiiit à iaK^rv bm diflSreBtidle de U fon» .* .. é^ latinak al
CII\1NETTE. 5ly
La seconde équation s'intègre en multipliant et divisant le second membre parp ; il vient
Les coordonnées x el s s'expriment ainsi en fonction de l'aies, mesuré à partir du point le plus bas de la courbe. Nous pouvons effacer les constantes, en choisissant convenablement l'origine. Pour a r:= 0, c'est-à-dire pour le point le plus bas,
T nous aurons alors a: = 0, z^ — . L'origine est, d'après celle
convention, un point situé verticalement au-dessous du point
T le plus bas, h une dislance égale à — . Les équations de la
chaînette deviennent
Les radicaux doivent loujouis être pris positivement. Ces équations montrent que si l'on change s en — s, z reste le même, tandis que x se change en — x. En effet la quantité sous le signe log devient par ce changement
Or le produit de celle différence par la somme
est égal k l'unité ; la somme des logarilhmcs est donc nulle, el les deux valeurs de x sont égales en valeur absolue et de signes contraires.
On a à la fois les trois équations
iî+V'*'^y
L'êfnboa de b coorte pia-
■i ;-: i- S«mt OX, OZ, les aies-, p»-
MK QB =« ; k poût B ^fU^ ticalnâh conrlie.
CdKtraÎHMs h tifilhaitM^ PQ reprèsfatèe ptf Féqiu-
Ujq ^=ac*; dk est ssnplole i h partie njgatrre de l'ue
DE U ClIAISETTE.
des X ; la courbe a = oc " est une logarithmique P'Q' sytniitrique de la première par rapport à l'axe OZ. Ces deux courbes passent au point 6. La chaînette ABC est le lieu des milieui M des intervalles QQ' compris cnlre les deux logarithmiques sur toule ordonnée menée parallèlement à l'axe OZ.
550. Les équations précédentes permettent de faire une élude complète de la chaînette. Mais on peut faire la même étude sans y avoir recours.
Nous allons chercher les principales propriétés géomè- Iriques de la courbe, en esprimant qu'un arc quelconque est en équilibre sous l'aclion de son poids et des tensions qui s'exercent tangcniiellemenl à ses deux extrémités.
Soit ABC la forme d'équilibre à laquellt! nous donnons le nom de chainclte. A et C sont, par exemple, les points où s'attache le fil ; B csl son point le plus bas.
Prenons un arc quelconque de courbe MN, et menons aux poiots M el N les tangenics .MT, NT', qui sont les directions des tensions T et T'. Les deux ^
dioites MT, NT', se coupent ^'t-/^
en un point S, qui se trouvera sur la verticale menée par le centre de gi-avité de l'arc MN, car les deux forces T et T' font ''^"'^
équilibre au poids MNx;> de
l'arc, qu'on peut regarder comme appliqué en son centre de gravité.
Décomposons les forces T el T' en deux composantes. Tune horizontale T,, l'autre veitîcale, T,, el T',. Les deux composanles horizontales seront égales ; quant aux composantes Terlicales, on aura entre elles la relation
T', = T, + pXUS.
On a enfin à exprimer l'équilibre du couple {T^, — T,) el du couple auquel on peut réduire les forces parallèles T',, T,, et "^"i ce qui conduit à poser l'équation des moments
X EN + [p X MN) X FS = T.x UE.
couple ai
s tfoner tris bcûeinenl une rehtioD entre 1« jTfllT'. Ea dfcC, prenons un are infiniment petit Kl ' ni pnjdoBi kl trois forces T.T cl p x UN, qui >« i, fw II tu^enleau point U, oa sur la dlrvciion^ Il tùrtt T; la force T, qoi fait afec lue Aj- depragection un angle iniGjitiiipnIpctit.t'j "^ pcojelleai mie grandeur aui infiatineiil pctîbdateeoad ordre prts.Oanc U forte r doède b farce T de la composante lu- {ealidle de la force Terlic^lv p x VS; f j„^ tnab Frojelersar la tangenteuae toof^^nr
pnpartîoooelle à HN, prise mr b vertierit, cda rerieol i prendre celle quantité sur b Ituigfolf, •■ wr Tare hti-m^mc, el à lo prujelcr sur la Terlinle; Il ffUJeilMM cfaefdi^ ed donc 6^le aa produit de p pirli fwintiiiu verticale NP de l'arc NN, ou par b diflereDoede ■■■Inr, ds, des deui eitr^miiès. Il et N, de l'arc. Qfe I en defiailite
Ctile reUtkin peot s'èlendre à uo arc fini MN quelconque (6f, l^ITi), cjr on peut toujours décompostT cet arc l'ii éii'ments aussi petits qo'oa Toudra, k chacun desquels Téquitioi sera applicable, et il n'y aura qn'i faire la somme de tontes ces iquations poor obtenir l'équation relative à un arc qi^ conque. Donc
La tension au point le |^us bas, B, est horisontale, et par suite égale i T„ puisque b composante horizontale de la tôtsion est partout b même. Appelons H la hauteur d'un poiol quiconque, H, au-dessus du point le plus bas : la tension T ai ce point sera donnée par Téqualion
I = T. + ,tl.
H est b difli^ence s — *, des ordumèes du point H d du point B.
DE LA C!IA[NEnE. 623
On peut rcprésenler les tensions par le poids d'une cerbine longueur de fil ; la tension T^ sera, par exempte, repré- Kniée par une longueur a de fil fournie par réqua!ion pa = T^; bns cette hypothèse, la tension T en un point M quelconque
1 représenlée par la longueur de fil o 4- H, car on a toujours T = T. + /.H = j.xl« + H).
Menons au-dessous de la courbe, à une distance verticale n=a de son point le plus bas, une liorizontale bm (lig. 515).
Le point M de la courbe sera à la distance M[' + l'm = Il + a
le celle droile, et par conséquent Mm représente, en lon-
tteur de fil, la tension T au point
On voit que, si l'on place en
[ une poulie inlîniment petite,
qu'on fusse passer le fil sur celte
mlie, l'équilibre sera assuré par
poids du brin Mil', pourvu qu'on tonne à ce brin une longueur ellequ'il atteigne sans la dépasser lioriionlale bm. ""'
Nous avons vu tout à l'heure que '*'"■'
composante verticale, T,, de la tension au point M surpasse R même composante en un autre point B, de loul le poids de tecBHi soit t cet arc comptù à partir du point le plus bas;
composante vo-ticale étant nulle en B, on aura simplemuit
La tension totale T est la résultante de deux forces reclanplaires T, et T, ; donc
Appelons z, pour abréger, la distance totale Mm; il vicnkt, en supprimant le facteur commun p.
