DE LA CII\1^ETTE

Si du point m on abaisse une perpendiculaire mQ sur la droite MN, normale à la chalnelte au point M, on aura dans le rectangle MQmm', MQ^mm' = a. Donc le lieu du point Q cat une courbe parallèle à la chaînette, èquidistanle et passant au point b.

351. Nous avons fait usage, pour établir toutes ces propriétés, de l'équation que l'on obtient en projetunt sur la tangente à la courbe les tcn-

sions du fil en deux points inlinîment \oisins. Projetons les mêmes forces sur la normale MN.

Soit C le centre de courbure d'un arc inlinîment petit M' M" ; menons la normale CM qui passe par le milieu de cet arc, el appelons w l'angle M" CM'. L'équilibre ■ lieu entre le poids pds de l'arc

M" M', qui s'cserce verticalement suivant MP, et les tensions T el T'.

Projetons ces trois forces sur la droite CN. La projeclion du poids MP = }ids nous donnera d'abord une certaine ilroitL' MU, égale au produit de p par la projection sur MN d'une longueur ds prise sur HP; or M'M" fait avec l'horiiontale Mil le même angle que la verticale MP fait avec la normale .MN, et par suite la projeclion de pxds sur la normale est égale au produit (ixM'R.

La force T fait avec la tangente h ta courbe en M un angle

^al à ,^ ; la projeclion de T sur la normale est représentée sur

la figure par le côlô TT, du triangle rectangle TT, M', quu l'on obtiendrait en menant par M une perpendiculaire à la direction CN.cIparTune parallèle à la mùine direction. L'angleTMT, est

égal à l'angle s. Or TT, diffère inliniment peu de l'arc décrit

du point M' comme centre avec M'T pour rajoo, lequel arc a

noniati ^^^^^1

m aknrTXx, d b nmine de ces deux composiBla 1

■Hpleld+Tixj. ]

OaadncpoerliiiiiiSbn- |

(i-i.r,xf-rxHL 1

■ dUBrilnl

«1 que l'on peut parcooièdouble do rDi)ed'eUo,jr,

Dnaoïtoéqi

Bs t* par le rapport — de

:M : remplaçons de même T eodn

■cVirnnjM

=fX»X

Proloageoiis la normale josqo'aD point N oà elle oxipe h droite bm; les triangles M m R, inUi', qui ont leors eùtti respediTement peqwndicalaires, sont semblables et donaat b propuiion

Doncp=llN.

Dans la ehaUielle^ le ranom de tomitire en m point domiéll ai égal à la porlum 4e normtde cmprtM e$Un ù poml Met I> drtfiie bro.

Il résulte de là qœ si Ton bit tourner la chainette aittoor de la droite bm, la surface de rérolotion qu'elle engendre, et que nous avons appelée aii/tMékle ^ 314), aura pour rayons de courbure principaux les longoeors ^iles, HG et Uf.

DE L* Cim.NETTE. 5S7

L'in(lieatrice de la surface sera donc une hyperbole équUatèie.

L'hi^lJcoidc gauche à plan directeur, qui, comme nous Tavons

obsorvé, est applicable surl'alyssÉide, possède la môme pio-

priclt!.

332. Remarquons que la forme de la chaînelte dépend unîfjuemcnt de la longueur a; en d'autres termes, la rhaînelte n'a tiu'im seul paramètre, conune le cercle, la parabole, la cycloiiie, la logarithmique, el par conséquenl, tontes les cliainettes sont des courbes semblables.

PROpnrÉTÉ DE UIMUL'U DES COITItDRS FDHICULAIHES.

535. Revenons au cas particulier dans lequel X, Y, Z sont donnés en fonclion des coordonnés x, y, i, et supposons de plus que \(ix-\-\dy-\-l<h soil la diflerentielle exacle d'une fonclion ç {x, y, %) de ces coordonnés. L'équation

OÙ c repi'ésente une constante arbitraire à laquelle on peut altribuer successivement une infinité de valeurs, représente tine famille de surfaces de niveau, normales en chacun de leurs points à la force (X, Y, Z) qui y serait applitiuèe par unité de longueur de fil.

Soit ACB la forme d'équilibre du fil soumis à ces forces; prenons sur la courbe deux points A et B assez voisins pour que l'arc ACB ne coupe qu'une fois chacune des surfaces de niveau ^ / S*, S', S'",..., S qui passent en- Ire ces deux points.

La courbe ACB jouit d'une propriété de minimum qui la dislingue de toute autre courbe joignant le point A au

M mmâmit pria les nleors de la taatim T ^r«faB*. On a en eOet, eniolégranl,

T+fK^»J =«*»«■ fi]

i la tasion da fil en chaque pool I ^'eUe représenten aussi pour ÛL de loule autre courbe ACB, ■taiffcilwÉ— frialiAetB, bien que ce mol ileteD< mmt/A^tm^ÊmÊÊ^IlfiÊUÊSoa mécaaique comme lAnquIl •ifinBB; 4b «rt» fM BMB paJasioDS dîFequ'>];aDDe tÊmim T, fani» r« rè|HliM <S), en un point n' de 11 ■^i» ICI» U» tOÊimm èlM< bwuImiIcs tout le long d^mu ■Éaa ■■&>• 4i pnnB, k Icwmb Bctive en m' sera cgih k h kaain iM» dtwIifplB^Ma le Al au poiot a.

KMialliMMnwr^MriaUsnleyTds, prise entre te jMihAttlIiltJaliWibi ACB, est plus petite que li ■la* iiÉtgnle frât b Ing de toute autre courbe ACB. j(h- ^Tot la T"''!*!"! r*1rfa'1'''^ ; qu*âa d'autres lermâSt ia ^leurk d'èqoilîbre rend cette fonction minimum. H suffit, pour établir ce théorème, de démonlrer que l'int^rale Jïdt « duore pas de Tateor. aux infiniment petits du second ordre prèf. quand on passe de la coorbe d'équilibre ACB à une courbe ACB iofinimml voisine.

Étudions b variatMin de celle intégrale. Pour cela, prenons UR élément mH=:dt sur la courbe d'équilibre, et comparoos^e à l'èlêoieat m'u', compris entre les mêmes surfaces de niveiD sur la seconde courbe. Les tensions T étant les mêmes pour oes deux éléments, puisqu'ils sont compris entre les mèms surfaces de niveau, l'élément de rinlëgrale Tds subit seulement la Taiialion du facteur dt, et s'accroil de la qiuolili T:^l/ïl en désignant par î(rf») ta différence m'n' — mndesdeni anrs. Pour comparer les deux courbes, nous avons donc à faire U somme JTî4*, entre les points A et B. On peut j pit-

DES COURBES FUMCDUIRES. 5M

r les règles du calcul des varialions. Mais il esl plus simple d'avoir recours â une inlerprélation mticanique, qui permcl de faire l'inlégration sur la ligure.

Tids est le travail de deux forces égales à T, appliquées en sens contraires et en prolongement lune de l'autre, aux deux bouts de l'élément m», quand les points d'application m et ti reçoivent les déplacements infiniment petits mm', im' (g 125). L'intégrale fliils est la somme des travaux de tous les systèmes binaires de forces analogues que l'on peut concevoir dans tous les arcs élémentaires de la courbe ACB.

Mais nous pouvons grouper autrement ces forces pour en trouver le travail total. Au point ii, dans le seiis mit prolongé, nous avons une force T, tension de l'élément nm; au même point, dans le sens pn prolongé, existe une tension T -i- dT, tension de l'élément »p.

Appelons Sx, ci;, £3, les projections du déplacement i»t' sur les trois axes coordonnés. Les composantes de la force T sont suivant les mêmes axes

les composantes de la force T-^-dT sont de même

Pour avoir le travail total de ces deux forces, il suffit de multiplier respectivement chaque composante par la projection du déplacement et d'ajouter, ce qui donne

La somme JTids, prise entre les limites A et B, est donc ^ale à la somme

prise entre les mêmes limites.

SSê raOPMÉTÉ DE HDOin

Remplaçons ^ (T -i- ) par — Xrfs, d f T ^ j par — Yàs, d[T --f) par — Zds; la seconde somme devient

somme identiquement nulle, car lous les éléments sont séparément égaux à zéro, puisque le déplacement (^, èy, 1%) étant pris le long de la surface de niveau, ses projections satisfont à l'équation différentielle

de cette surface.

Donc la variation de l'intégrale flds est nulle quand on passe de la courbe ACB à une courbe infiniment voisine, et par suite flds est ou minimum ou maximum le long de ACB, sauf les cas particuliers où la variation seconde serait aussi nulle. Et comme il est évidemment impossible que JUds soit un maximum, on peut dire que cette intégrale est en général un minimum.

334. Cette conclusion subsisterait encore si le fil était appliqué sur une surface sans frottement ; la réaction normale de la surface n'allérerait en rien la (orme des surfaces de niveau; seulement il faudrait comparera la courbe d'équilibre ACB d'autres courbes tracées entre les mêmes points A et B sur la même surface.

Remarquons aussi que la résultante de la tension T agissant en n suivant nm, et de la tension T-f-dT agissant en n dans la direction np^ est égale et contraire à la force ¥ds que Ton peut regarder comme appliquée au point n, et qui est normale (à la surface S suivant laquelle on imprime un déplacement au point n. Le contour mnp^ dans lequel m et p seraient considérés comme fixes, le sommet n restant seul mobile le long de la surface S, satisfait donc (§ 120) à la condition qui rend minimum la fonction

wn X T + «;> X (T + (fT).