DES COURBES FUNICULAIRES. 5M

serait facile d'étendre celle propriété à la courbe entière ACB, ce qui démontre encore la proposition.

555. Montrons cntin comment le calcul des variations con< duirait à la même conclusion. Nous ne ferons cette fois au> cune hypothèse sur les déplacements imprimés aux divers points de la courbe ACB, pour les amener sur la courbe infiniment voisine ACB. Soient tx, iy, ÎJ les composantes de ces déplacements. Nous avons à démontrer que

*JIdj = 0.

Or

jyTrf.= }t[ldt) = /JTrf» + STtd,.

Gomine nous avons l'équation générale

! + ([«, V, i) = c(}nsi.,

nous avons aussi

DlHlC

lT<li = - (Xitiii + Vrftf j/ + Uih)

Sa<u

= — JtSdsîi + Sdtiij + IdMS:

Calculons ensuite Nous avons

dt> = dz* + d>j* + di*.

Passant aux

variations, il vient

dildi = djtSdx + dyldy + dttdy

et par suite

dx,, ^dy ., d:.,

L'intégration par parties sépare les caractéristiques deti; on a en effet

/Tg,..=/T|.„„ = 4;,./,,.(,g),

532 PROPUIÈTË DE MINIMUM.

De môme Donc enfin

Mais

D'ailleurs les variations &r, 8t/, 82, sont nulles aux limites A et B de Tintégration. On a donc, en prenant l'intégrale entre ses limites,

Par conséquent

JTSds + /eW» = ijTds = 0,

et la proposition est démontrée.

336. Application de la chaînette. — La courbe funiculaire devient une chaînette quand on fait X = 0, Y = 0, Z = — p, quantité constante.

L'équation

T-f y = const.

prend la forme T — p« = C, C étant une constante. Entre deux points A et B, pris sur la chaînette ACB, l'intégrale flds est minimum; donc f(pZ'hC)d$, ou pfzds-hCfds

est minimum le long de la courbe. Or ^^ , ou ^—-5— est

^ fpds fds

l'ordonnée verticale du centre de gravité de Tore ACB. Comparons l'arc ACB de chaînette à Tare ACB d'une courbe ayant

tig. 31S.