CES COURBES FUNICULAIRES. 5Î

in£mc longueur. L'inliigrale fds étant la môme pour les deux courbes, les ordonnées des centres de gravité seront entre elles comme les valeurs de l'inlégrale fzils; or celte intégrale est minimum pour la chainctle. Donc de toutes les courbes de même longueur qui joignent deux points donnés, la chaînette est celle qui a son centre de gravité le plus bas paisible: proposition que l'on auiait pu déduire de la théorie exposée gg 236 à 240*.

On peut ensuite appliquer le théorème de Guldin (g 206), et on parvient à celte nouvelle proposition : de toutes les turfaceê de révolution que l'on obtient en faisant tourner autour d^une djoile UH' Us diverses courbes isopérimétres ACB que fon peut tracer dans un plan pataant par UH' entre deux points don- "

né* A et B, ceUe qui a la moindre su- S »

perfide est engendrée par la chafnelte "*' ^'*'

qui joint ces deux points, la pesanteur étant censée agir perpendiadairement à Ilil'.

PBDDLÈHB DE HtKtyilU.

357, Étant donnés dans un même plan deux points A e( B et une droite OX (lig. 319), on demande de tracer dans ce plan itne courbe AmnsB, qui joigne les deux points, et telle qu'en la faisant tourner autour de OX : 1" le volume engendré par la figure AahB, terminé aux deux perpendiculaires Aa, Bb, et à la courbe, soit égal à une quantité donnée; 2* la surface engendrée par la courbe elle-même soit minimum.

' Ltcbaiiielleet l'eiempie indiqué gUOfflontrembienquel'^uilibred*UD3islènw pe-dit a liaisons eslauuiiï dés qucst'ncfiilredegriviléest le plus bas poslîble. Ion même que les liaisons ne ^ulllseiit pus pour assujettir le ccutredegrai k dterire une ligne ou une surface. Celte coudiiion clait supposi et3S8.

idansiesgsS35 ^M

FIg. 980.

PBOBUtn

Supposons que la courbe AmtiB satisfasse k ces deux eraditions. Si on l'altëie infiniment peu, suitantle^tfacë AmVi^B»

de manière i laisser eonstant le ?dttme eng^idré, la surface engendrée par la noutelle courbe sera ^le, à des infiniment p^ts d'ordre supérieur prte, k la surfilée engendrte pur la courbe piimitite ; c'est la condition du minimum.

Bapportons ^ la nouvelle courbe à l'ancienne. Pour celât appelons tt rintervalle mmf compris entre les deux courbes, mesuré sur la normale mR à la courbe primitive; la quantité Il portera un signe, suivant que rintervalle des deux copirbes tombe d'un côté ou de l'autre de la première. A chaque arc mn de la courbe primitive, correspondra un arc m V sur la courir déformée^ et ces deux arcs, faisant entre mt un angle infiniment petit, peuvent être considérés comme parallèles. Soit C le centre de courbure de l'arc mn^ ou le point de rencontre des deux normales consécutives mR, nS. Les triangles Cmn, CmV, étant semblables, donnent, en appelant p le rayon de courbure Cm, et dsy ds' les arcs rnuy m'n\ la proportion

Donc

L'élément de surface plane mnn'm' a pour mesure udsj et dans sa révolution autour de OX, il engendre un élément, ^TcyudSj de la différence entre les deux volumes, en appelant 9 l'ordonnée mp. Cet élément a le signe de u. Nous poserons, suivant la méthode indiquée par Cauchy,

yud8 = f{8);

la fonc(îonç(s) est assujettie à s'annuler au point A pour 3^=0, el au point B pour s = AB ; pour toutes les valeurs inlermé' diaircs, elle reste arbitraire et inrinimenl petite. On en déduit, en dilTérentianl el en dirisant par ds,

L'arc mn engendre dans sa rîtvolution autour de OX un élément de surface égal t 2r.!ids: l'élément m'n' engendre de même un élément 2:: y'ds', en appelant y' l'ordonnée m'p'. De sorte qu'en supprimant le facteur constant 2:c, la condition du minimum se traduit par l'équation

Nous connaissons déjà ds' en fonction ds. Pour évaluer de mime y', observons que la différence y — y' est égale à la projection sur l'axe OY de mm' ou de u ; on aura donc, en appelant a l'angle de la tangente à la courbe avec Taxe OX,

Substituant à y' et à ds' leurs valeurs, cl développant, il TÎenl

Réduisant, et supprimant le dernier terme qui csl infini- I ment petit par rapport aux autres, on a pour condition du mi-

3ia(f«] = 0.

536 PQpBLfctt

Hais C08 a est le rapport de rordoniiée mp à la mfmâle iiiR. Soit mR=N ; on aura cosa=«, et

ueMmdivs^di,

L*ëquation devient donc

Remplaçons yu par sa valeur f ' («), et intégrons par parties. Ilviendra

fonction qu'il faut prendre entre les limites correspondantes aux points A dL B ; or à ces limites f (s) est nuU

L'intégrale / f{s)d ( - ~ «3 ) doit donc être nulle le long

de la courbe entre les points A et B, quelle que soit la fonction arbitraire 9(9) • U faut et il suffit pour cela qu'on ait en tous points

ou bien

- — rs = constante.

On remarquera que le rajon de courbure mC, et la normale mRj sont les rayons de courbure des sections principales de la surface engendrée par la révolution de la courbe cherchée autour de Taxe OX; ces rayons de courbure devant d'ailleurs élre pris avec des signes contraires dans la situation de la iigure, puisqu'ils sont dirigés en sens opposés, on

peut regarder ^^ comme la somme algébrique des courbures

principales, et exprimer la propriété de la surface en disant que sa courbure moyenne est constante.

.B clialneltc est un cas particulier de celle espèce de courbe ;

elle correspond à p = N, et à j^ ^ 0.

P " On sait que la chainctic peut élre engendrée par le foyer d'une parabole qui roule sur une droite fixe (I, g 148). Les courbes comprises dans l'équation

- — ji%^ constante peuvent Être décrites de môme par le foyer d'une feclion conique roulant sur la droite OX*. £n effet, l'équation différentielle de la courbe qui en voulant sur la droite OX engendre la ligne AB est, entre les coordonnées polaires N et 0, m-Mi.

/■(N) étant la valeurdela tangente de l'angle R:=CRO, expri- I mèeen fonction de la longueur N^^mR (I, g 146). Déterminons d'abord celte fonction. Ou point It, abaissons RR' perpendiculaire sur CS; la distance U'S sera égale à d^. On aura dans le triangle RR'S,

(/:< = IlR'XtiingR'nS =

ajig CltO

Ibis les triangles semblables Cmii, CRR', donnent

RU' = mn X ^ = - X (p + K) = d. X (/> + H),

da étant l'angle mCn. Cet angle, pris négativement, est la di(- I férence CSO — CRO, ou la variation de l'angle R ; nous aurons donc entre R etN l'équation diltércntielle

(fN=— Jnlp + ^l>.

* Ce Uifoi'^'me a éVÉ di^couivii par belauiiny.

Or Ml « abre Het f ta relation

a tout voe oomtante; c« qui pennet d'ÂUmiaer p. D mot lion

ftMtHit

«a biai, ea décomposant U seconde TniclMm ea fttdHit simptes,

* . g'±"^ jt rf" . ■" ■ ■'^

D*o6 l'OD tin CD intégrant

kf da> +1 log H 4- |loglR 4- ito) = coiMtanu-

ifain = -==^==.

On en déduit

par conséquent

V'SIN + Îo} — C«'

et l'équation polaire de la courbe routante est ^,^ c g

^K' + îoN — P S"

Mous retrouverons cette équation dans la dynamique en tmtantte problème du mouvement etlipUque des planètes-L'iitigration donne

•——fi-)'

dans laquelle A et B sont des constantes exprimables en foofr tion des quantités a et C, et 0, une constante arbitraire. Oi satisfait en efTel b. l'équation diflërentielle proposée en bisial

-It' 1-

minées, on aura entre N et 0 la retalion

a. Les constantes étant ainsi dÈler-

1 + gCMlfl-O.)

qui définit une section conique rapportée^ son foyer.

ËQUILUIIIB D'un FIL APPLIQUÉ SUR UNE SDItFACE.

338. Supposons qu'un fil sans pesanteur soit appliqué sur une surface qui n'exerce sur lui aucun frottement. Lesseules forces qui agiront sur une portion quelconque de fil seront les tensions en ses deux exircmités et les réactions normales de la surface. Prenons sur le fil un arc infiniment pclit Alf ; cet nrc pourra être confondu, sans erreur appréciable, avec un arc de cercle ayant pour centre C le centre de courbure de la courbe dans l'intrrvalle des points A et B. Les i éactions de 1» surfnce sur l'élément AB se composent en une force unique IN, normale à ta surface, et par suite normale à la courbe, qui fait équilibre aux tensions T et T'. Les trois forces T, T' et N sont ainsi dans un même "^

plan; la normale IN à la surface est située ib. - ■

dans le plan des deux tangentes infiniment voisines AT el BT', ou dans le plan osculaleur; c'est donc la normale prindpale de la courbe, et elle passe par le centre de courbure C. En d'autres termes, la normale à la sur face coiitciile avec la normale principale à la courbe.

Projetons les trois forces N, T et T' sur la tangente à la courbe au point I. Les forces T et T' faisant des angles infiniment petits avec cette tangente se projettent en vraie grandeur, tandis que la force N, normale à l'ase de projection, a une composante nulle. DoncT^T'; et par conséquent /o tension est la même en tous les points du fil.

lemion est la ^h