ÉQUILIBRE D'UN FIL

Le théorème du travail virtuel conduit au même résultat. Prenons une portion finie quelconque de fil ; elle est en équilibre sous Taction des deux tensions extrêmes, T et T\ et de toutes les réactions de la surface, qui sont normales ; cela posé, imprimons au fil un déplacement longitudinal, £, commun à tous ses points et infiniment petit. La somme des travaux des tensions T et T sera égale à T e — T' e, ou à (T — T') e, et cette somme doit être égale à zéro, caries travaux des réactions sont nuls; donc enfin T=T'.

Cherchons la réaction de la surface.

Soit d(ù l'angle de contingence ACB, égal au rapport, —,

de Tare AB au rayon de courbure CA. La projection des trois forces N, T, T, dont les deux dernières sont égales, sur la direction de la force N, donne la valeur de la réaction. Nous avons obtenu, dans un cas tout semblable (§ 331), Féquation suivante

ou bien

j est la réaction de la surface rapportée à Puni té de longueur du fil ; on voit qu'elle est égale à la tension T divisée par le rayon de courbure p de la ligne dessinée par le fil ; mais T est partout le même; donc la réaciioji de la surface rapportée à Vunité de longueur est inversement proportionnelle au rayon de courbure.

539. La ligne d'équilibre d'un fil appliqué sur une surface jouit de celte propriété, qu'elle a entre deux quelconques de SCS points la plus petite longueur possible. Car le fil, d'abord placé de manière à passer par deux points donnés, sera amené par la tension à occuper la position où il ne peut plus subir de raccourcissement. Cela résulte aussi de ce que la tension est constante tout le long du fil. Si Ton en fixe deux points A et B, l'intégrale Jlds sera minimum pour la courbe que dessine le fil entre ces deux points ; le facteur T