APPLIQUÉ SUR USE SURFACK. 54L

étant conslant peut sortir du signe /, et, par consô<inenl, l'arc /dsesl minimum pour la courljc d'équilibre entre les deux points A ctB.

On appelle lignes géodésiques les lignes qui, sur une surface donnée, ont la longueur minimum. Elles ont ce caractère géométrique que leur plan osculateur en un point quelconque est normal à la surface'. Par exemple, les lignes géodôsiqucs delà sphère sont des arcs de grand cercle; sur le cylindre droit à base circulaire, ce sont des arcs d'hélice, et comme cas particulier, les cercles de section droite ou les génératrices rectilignes.Surlc plan, les lignes géodésiques sont desdroites î pour toute autre ligne, le plan osculateur coïnciderait avec la surface au lieu de lui être perpendiculaire.

Lorsqu'on applique sans déchirure ni duplicature une surface sur une autre, des lignes quelconques tracées sur la première conservent leurs longueurs sur la seconde, et les angles sous lesquels elles se coupaient restent aussi les mêmes après la déformation. Les lignes géodésiques de la première surface se transforment donc en des lignes géodésiques sur la seconde. Les lignes géodésiques d'une surface développable deviennent des lignes droites quand on applique la surlace sur un plan.

On voit par là que la sphère n'est pas dëvcloppable. Car un triangle sphërique formé par trois arcs de grand cercle, 00 par trois lignes géodésiques, se transformerait sur le plan en UD triangle rectiligne, et les angles des deux triangles seraient respectivement égaux, ce qui est impossible, puisque b somme des angles du triangle rectiligne est égale à deux droits, tandis que la somme des angles du triangle sphériquc

* « CtMMivt a remirquè le premier, dans les IUmoire$ de ^Académie da « tiû»ce* de 1733. que, quelle que soit Ja Dgure de la terre, Is ligue qu'on f « iTMcnil en planlaiil conliniiclleiDent des piquets perpendiculaires â l'hàiiMD,

• de nanltre qu'ils soient effacés les uns par les autres, comiDe on l'a pratiqué « duu la description de la perpendiculaire à la méridienne de Puris, aurait la

• propriété d'ïire la ligne la plus courle entre tous ses points. > [Lagrange Càleal dtt lanctioia, leton XXll.] En elCei, les plana ofculateurs de la ligjie sont ea lODS points verticaux, c'est-à-dire aorm aux â la surface de la terre. L'eipres- ^on de ligne gtadttique est venue de cette construciioa.

542 UGNES

surpasse deux droits de la quantité appelée excès sphéi^ique, proportionnelle à Taire du triangle.

540. Cherchons les équations difiTérentielles des lignes géodésiques d'une surface donnée

Nous nous servirons pour cela de la condition de minimum de l'arc

ou

Jidê = 0.

Mais

Substituant, et intégrant par parties, pour séparer les caractéristiques d et 8, il vient

Le terme hors du signe / est nul aux limites, puisqu'on suppose fixes les extrémités de Tare de courbe considéré. Quant à la fonction sous le signe /, elle renferme les trois variations Ix^ ly et 82; mais ces trois variations ne sont pas indépendantes les unes des autres, car les déplacemenls imprimés aux points de la courbe s'effecluant sur la surface F = 0, les variations satisfont à l'équation différentielle

On peut donc exprimer tz en fonction de Zx et de iy. Substituant sa valeur dans la fonction sous le signe /, il vient en déiinilive

GËODËSIQUES. 5i3

L'intégrale doit se réduire identiquement à zéro, quelles que soient les variations indépendantes ix et Sy. Il faut et il suflGt pour cela qu'on ait tout le long de la courbe les deux équations

jdx dx jdz g.

dz d?

'^ds dF^ds ^* dz

OU bien la série d'égalités

dp dp dp

ds __ d$ __ ds dF ~~ dF " dV * dx dy dz

Telles sont les équations différentielles des lignes géodésiques delà surface F=0. Elles expriment que la direction qui fait avec les axes des angles définis par les cosinus

,dx

.dz

c*e8t-à*dire la direction de la normale principale à la courbe, ecAticide avec la direction définie par les cosinus

I dF

dz

514 ucns GftoBtsnim.

c'est-à-dire «tec k direction de k nmnaleà la nrfine : rème que la statique nous amt immédiatcaent donné.

541. Étant demie iem Feepeee mu amrbe qaàeeieqÊe^ U \peut faire fouer par cette eamhe toM amfaea iéedepféli mt cette courbe eeU tme ligne géoiérigme. En eiTet, menons psr les tangentes & la courbe en desfoiib es rapprochés, A« B, C, des plans normaux aux nonadsi

principales, ou, ce qui revient an nEMi normaux aux plana oscolatenr8.Ces|hai ae couperont denx à deax suivant te droites, et i la limite, lorsque lespoinb A, B, C se seront indéfiniment rspfnchés, la surfaces qui contient ces dniki sera l'enveloppe des positions du plan mcd>ilo ; ce aen dne une surface dévdoppable. Ses plana tangente auccessib 'smt normaux aux plans osculateurs de la ligne L; donc eslh ligne est une ligne géodésique de la surlace S.

Si Ton développe la surface S sur un plan, la courbe L n transformera en ligne droite sans altération de longueur. Lt surface S est la surface rectifiante de la courbe donnée.

n«. scL

inÉonÈxE SUR les àBca d'elutse.

342. Lemme. — Si d*un point extérieur M, on mène deux tangentes BIP, UP à une ellipse, les angles?m,VMF que font lestangeH' tes avec les droites menées du peint H aux foyers F et F' sont ^aux> Pourconstruire la tangentellP, il sufDt de décrire un cercle da point P comme centre avec un Fig. 3u. rayon égal au grand axe , puis

de chercher l'intersection  de ce cercle avec un arc décrit

TilËOnËUES DE V. CIIASt.GS. 545

du point Ai comme cenlrc avec MF pour rayon. La langenle cherchée est la droile MP, perpendiculaire à FA. Jotg^nant ^''A, on aura le point de contact P en cherchant l'intersection de la droite F'A avec la targenle MP.

La seconde langenle MP' s'obtiendrait en faisant usage de la seconde inlersection des mômes nrcs de cercle. Mais on peut aussi la construire en décrivant de F comme centre, avec lo grand ase pour rayon, un cercle que l'on coupera parun arc décrit de M comme centre avec un rayon égal a MF' ; l'intersecîion donnera te point A', et la tangente cherchée sera la per- ^ndiculaire abaissée du point M sur la droite A'F',

Les tangentes MP, MP' sontles bissecirices des angles FMA, PMA". Pour prouver légalité des angles PMF. P'MF', il suMit donc de prouver l'égalilé des angles doubles AMF, A'MF', ou, en ajoutant de part et d'autre l'angle FMF', l'égalité des angles AMF'. A'MF.

Or ces deux angles appartiennent à deux triangles AMF', FMA', qui ont leurs trois ciHés égaux chacun à chacun, savoir; AM=:MF, AF'^A'F= le grand axe, MF'^MA'; ils sont donc égaux, et le lemme est démontré.

Corollaire. — Si l'on considère l'ollipse ayant pour foyers les points F et F' et passant par le point M, la langenle à celle ellipse au point M, faisant des angles égaux avec les rayons vecteurs MF, MF', fait aussi des angles égaux avec les tangentes MP, MP'. menées du point M h l'ellipse bomofocate PP'.

543. Théorimes de M. ChaslesK — SoitAfi une ellipse, F et F' ses foyers (flg. 524). Imaginons un fil continu, inextensible et de longueur donnée, qui fasse le tour de l'ellipse, en s'appuyanl sur la courbe, sauf dans la région PMP', où il dessine "^- ^^■

deux tangentes PM, P'M aboutissant en un point H. On

> CompUi rendtiê dt FAcadimù dt* Scieaca, 1E43,

n. H<C. WUMKOX,