THÉORÈMES

demande le lieu décrit par un crayon qui serait placé au point M de manière à tendre toujours le fil.

Cherchons la tangente en H au lieu demandé. Prenons sur la courbe cherchée un point M^ infiniment Toisin du point M, et soit MM^=ib. La longueur totale du fil ne change pas quand le crayon passe de M en M^ ; soit 0 l'angle que MP fait a^ec la direction de Félément MM^ , et 0' Tangle que MF fait hycc le même élément pris dans l'autre sens. Dans le passage de M en M^ , le brin P^PM se raccourcit d'une quantité égale à la projection de MM^ sur la direction de PM, ou de (bcosO; le brin PM s'allonge en même temps de la projection du même arc sur la direction de FM, c'est-à-dire de ds cosV. La longueur du fil restant constante, on a

donc 0=0', et la tangente au lieu cherché fait des angles égaux avec les tangentes MP, MF à Tellipse AB.

n résulte du lemme précédent que le lieu RS décrit par le point M est une ellipse homofocale à l'ellipse donnée; par suite, étant données deux ellipses homofocales^ si d'un point M de Vellipse extérieure on mène les deux tangentes HP, MF h V ellipse intérieure, la somme des tangentes et de Farc embrassé entre les points de contact,

MP-i-MP'-f-arcPACBF,

est constante.

On peut ainsi décrire l'ellipse en tendant avec un crayon un fil de longueur constante qui entoure une portion du périmètre dune ellipse déjà tracée; cette méthode est une généralisation de la méthode ordinaire dans laquelle on fait usage des foyers. La droite finie FF', pour tous les points, N, de laquelle la somme des distances NF-f-NF' est constante et égale à FF', peut en effet être assimilée à une ellipse infiniment aplatie, qui aurait les points F et F' pour foyers.

La somme MP -hMF-f- PCP' étant constante, si Ton en retranche le périmètre entier de l'ellipse, le reste, égal à MP -h MP' — PDF, est aussi conslant, et c'est sous cette forme

DE H. ClIASLES. 547

que M. Chasles a présenté son théorème. On en déduit un moyen géométrique de Irouver dune infinité de manières, sur une ellipse donnée, deux arcs dont la dilTérence soil rectifia l)le.

Supposons en second lieu que le fil qui entoure l'ellipse puisse lilre allongé à volonté, et cherchons le lieu des points H tels, qu'en passant d'un point M à un autre point M', les deux brins qui aboutissent à ce point soient allongés de quantités égales.

Supposons les points Met M' infiniment rapprochés : la quantité dont s'allonge le brin MP, quand, sans cesser d'être tendu et sans glisser sur l'ellipse, il va aboutir en M' suivant le tracé P,M', est ^ale à la projection de SIM' sur la direction de M'P,. De même le brin MP* s'est allongé d'une quantité égale à la projection de .MM' "g.™. sur M'P,'. L'égalité des allongements implique donc l'égalité des angles P[M'M, P,'M'M, et par suite la direction de l'élément MM' est bissectrice de l'angle dos deux brins.

Les directions MP, MP' font, d'après le lemmo, des angles égaux avec une ellipse homot'ocale à l'ellipse donnée, passant par le point M. lionc MM' est normal à celle ellipse, et le lieu clierchê est une trajectoire orthogonale des ellipses qui ont F et F' pour foyers; c'est par suite une hyperbole HK, homofocale à l'ellipse donnée, et la coupant elle-même à angle droit au point I.

La longueur MP d'une tangente à l'ellipse, comprise entre le point de contact P et l'hyperbole, surpasse l'arc PI, mesuré sur la courbe, de l'intégrale fihcos^y prise sur l'hyperbole entre le point I et le point M ; ds représente Parc élémentaire mm' d'hyperbole, et ç Pangle que sa direction fait avec la tangente mp menée à l'ellipse à partir du point m.

Cette intégrale est la même des deux côtés de l'hy-