FROTTEMENT D'UN FIL

perbole, puisque Téléinent ds fait des angles égaux avec les deux tangentes ; les différences MP — arc PI, MF — arc FI sont donc égales « et la différence des arcs d* ellipse PI, FI est égale à la différence des tangentes HP, HP\

FROTTEMENT d'uN FUi SUR UNE SURFACE.

344. Lorsque les réactions de la surface sur laquelle un fil est tendu ne sont pas normales, la courbe d'équilibre peut n'être pas une ligne gëodésique. Il y a cependant un cas où il en est encore ainsi : c'est celui où le fil est sur le point de glisser stir la surface le long de la ligne quil y dessine.

Considérons un arc infiniment petit, AB, du fil appliqué sur la surface. Cet arc étant sur le point de glisser dans sa propre

direction AB, le frottement exercé par la surface est une force /'N égale au produit de la réaction normale N par le coefficient de frottement, et dirigée langentiellement à AB, en sens contraire du glissement qui tend à se produire.

L'arc AB est en équilibre sous l'action des forces N, fN, et des tensions T et T' développées à ses deux extrémités. Les forces fN et N se composent en une seule force R, appliquée en un point C de Tare : les trois forces R, TetT',se faisant équilibre, sont dans un môrae plan, qui est le plan osculaleur de la courbe AB, puisqu'il contient les deux tangentes AT, BT'. Or la force fN, tangente à AB, est située dans le plan osculaleur; par suite, la force N est aussi située dans ce plan. Donc le plan osculaleur de l'arc AB est normal à la surface^ et la courbe AB est une ligne géodésique. Les tensions T et T' ne sont plus égales , et il est facile de voir que T' surpasse T de la composante fN. L'angle RGN est égal à l'angle <p du frottement. L'angle RCB,

Fis. 3*27.

Sim l'NE SURFACE. SJI

qiie la force exiéricure R fait avec la courbe funiculaire A6,

est donc égal à ç+ ç.

Cela posé, appliquons à l'arc AB l'èqualioti que nous avons donnée <g 325),

oùTest la tension, du l'angle de contingence, et ijl l'angle de U force exti^ricure avec la courbe, prise dans la direction suinnt laquelle on compte les arcs positifs. Nous aurons

et par suite

Intégrons celle équation d'un bout à l'autre de la portion de fil MP appliquée sur la surface; il viendra

T, et T, étant les tensions aux points P et M, où le (îl se détache de la surface, et Û la somme des angles de contingence de la ligne .MP.

On aura donc

Si la courbe MP est plane, si c'est, par exemple, la section droite d'un cylindre, ou l'arc de grand cercle d'une sphère, l'angle Û sera l'angle lies tangentes exlrî'ines. Supposons que la courbe MP soit un <irc de cercle de rayon r et que S soit la

longueur de lil appliquée ; on aura Q = - .

T On voit que le rapport =r '^l'Olt très-rapidement avec la valeur de 0, ou, dans le cas particulier qui nous occupe, avec la valeur de S.

»50 nomiBlIT D*!ni FIL

34S. Cette proposition étant très importante, nous en doni.erons une démonstration élémrataire, en la re^lreignant an cas où la surface est un cylindre, rt où le fil glisse suivant sa section droite.

Soit MN un fil tendu à la surface d'un cylindre droit h base circulaire, le long d'un arc infiniment petit AB de la section droite de ce cylindre. Supposons que le fil glisse, ou

soit sur le point de glisser dans le sens de la flèche; la tension f, qui agit au point B dans le sens du mouvement, surpassera la tension I, qui agit en sens contraire au point A, de tout le frottement développé au contact du fil et du cylindre. Ce ftôtlemait est infiniment petit. Pour le calculer, transportons les forces t et l' au point I, point de concours des deux tangentes BN, Ail ; ces deux forces sont égales à un infiniment petit près, eHes se composent donc en une force unique IP, qui est dirigé^ suivant la bissectrice de leur angle, et qui va passer au point 0, centre de l'arc AB. La résultante IP est la pression totale exercée par la corde sur le cylindre, et le frottement mutuel des deux systèmes en contact est, au moment du glissement, égal au produit IPx/*, dans lequel le facteur fesl le coefQcient du frottement de la corde sur le cylindre.

Le triangle IPR a ses côtés respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle AOB ; ces deux triangles sont semblables, et donnent la proportion