IP AB
m "" AO '
ip
en appelant a Tangle au centre infiniment petit AOB, ou plutôt le rapport de l'arc AB au rayon OA.
SUR m CYLINDRB FIIB. &Ô1
La pression de la corde sur le cylindre est égale à al, le frottement à faii^ et Ton a entre f et Ma relation
•ou bien
Cette formule suppose expressément le nombre a infiniment petit.
Passons au cas où Tare de contact, AB, entre la corde et le -cylindre a une longueur finie. Partageons Tangle au centre AOB en un très grand nombre, tt, de parties égales, et appelons a le rapport de la h*^ partie de cet angle au rayon.
Soient t^y t^, t„ ... t,^, T, les tensions de la corde aux points , A, a^j afy (f'j ..., o»-i, B; les arcs An', a^afy ... étant infiniment petits, nous pourrons appliquer à *'8. s^ychacun d'eux l'équation précédente , ce qui donne la série -d'équations :
Multiplions ces équations membre à membre; les tensions in* termédiaires disparaissent comme facteurs communs, et il wient en définitive
55S FROTTSnSNT B^UII HL
équation où a est la vf^ partie ée Tanglê ÂOB, et où n est supposé infiniment grand. Soit donc â rare qui mesure l'angle au centre AOB; nous pourrons poser l'équation rigoureuse
T=/,xiîm.(i+^y
pour n infini.
Faisons* pour abréger, fk=x^ et cherchons la limite de
1 -4- - ] lorsque le nombre n croit au delà de toutes limites.
Nous allons démontrer que
X étant un nombre constant, et n un nombre ind^aimait crofasant.
En effet,
Posons no? =n'; on en déduit ii = —, et par suite
Le nombre n' croit indéfiniment en même temps que le nombre n.
Nous avons donc identiquement
Cette équation est encore vraie à la limite quand on y lait à la fois n et n' infinis; et par conséquent
car le changement de n' en n est indifférent du moment qu'on les suppose tous deux infinis à la fois.
La limite de ( 1 4- - j est un nombre déterminé ; c'est lo
SUR l'» CÏLI^DilE FIIE.
e e, base des logaritlinies hyperbolique:
et nous retombons sur l'équation déjà obtenue
L'emploi des logarithmes facilite le calcul des puissances fractionnaires du nombie e.
346. Pour montrer quel usage on peut faire de la formule, supposons qu'une corde MN (tig. 330) passe sur un cylindre horizontal en bois, h la surface duquel elle glisse dans le sens A6, en embrassant une demi-circonférence; on fera
Le coellicient du frottement de la corde sur le bois du cylindre est 0,50.
On aura donc entre les tensions T et (, l'équation
Par eiemple, une personne atlaciiée à l'extrémité COitle tient dans ses mains l'autre brin AM, qu'elle laisse filer peu à peu, de manière à se laisser descendre. La somme T + („ des tensions fait équilibre au poids de celte personne; supposons qu'elle pèse 65 kilogrammes. Les tensions fgCl T se détermineront par les équations
Jde la
I = (,Xi,80,
d'oii résulte
Cette tension est l'elTort que la personne doit exercer con-
551 FROTTBWDIT Dim HL
staromcnt sur la corde pour rester malfareese de la ntesse afee
laquelle elle descend.
Si la corde faisait un tour entier autour du cylindre, il fau*
drait faire A=2x ; si elle faisait deux tours entiers, A= 4«, ...
T On peut facilement reconnaître que le rapport ~ grandit très
rapidement avec la valeur de A, ou avec la grandeur de Tare embrassé.
Au lieu de descendre, supposons que la personne veuille monter en tirant sur la corde. Il faudra alors qu'elle développe la tension T, capable d'équilibrer la tension résistante ^ développée dans le brin auquel elle est suspendue.
L'eifort à exercer sur le briii moteur sera donc égal &
en supposant toujours que Tare AB soit une demi-circonférence.
Une poulie est préférable au cylindre fixe AB, s'il s'agit de monter ; le cylindre fixe est préférable à la poulie, s'il s'agit de descendre.
Celte loi explique comment, sur le quai d'un port, un seul homme peut, à l'aide d'un câble enroulé plusieurs fois autour d'un poteau fixe, arrêter un bâtiment animé d'une faible vitesse. Une tension même très petite, t^^ multipliée par le facteur e^j qui augmente très rapidement avec Tare A, produit dans le brin du câble qui va du poteau au navire, une tension T assez grande pour que le travail de l'extension du câble détruise sur un médiocre parcours la vitesse du bâtiment.
