THÉORIE DE8 MOMENTS ET DES COUPLES
DÉFCiinONS.
Fig. S5
41. La considération des produits appelés moments simplifie la composition des forces.
On appelle moment d'une force Fpar rapport à un point 0, le produit de la force F par la distance OP de la force au point 0, qui prend le nom de centre des moments.
On appelle (fig. 36) moment d'une force ¥' par rapport à une droite AB, le produit de la projection, F", de la force ^ur un plan RR', perpendiculaire à la droite AB , par la dislance AS du point où la droite AB perce le plan, à la projection P; en d'autres termes, le mome^it d'une force par rapport à un axe AB est le moment de la projection de la force sur un plan normal à Vaxe, par rapport au point oh Vaxe rencontre le plan de projection. La distance AS du pied de Taxe à la projection de la force est d'ailleurs égale à la longueur CD de la perpendiculaire commune à la force F' et à ïaxe AB des moments.
On appelle enfin moment d'une force par rapport à un plan parallèle à sa direction, le moment de la force par rapport à
Fig. 56.
un lie qDt^M>ç7K« cr^ôt diBsw pbn^perpendiciilaireinent
Le mc-iDro: do» Sw^e F pv npp>rt i un point 0 oo par nppect 2 Qiixe AB se KpcYsoAe qodqaelbis par les nobtk^ns
?Sous verp>r.5 !>::t 2 rbt'a;^ qii*«i doBiie un signe i ees quan-
42. il résulte des c.-£&it>»5 prwcdcntes que le moment d'une forve par np^ort j un point esl nul qmnd le pointes! situé sur la dire^li-.^n de U f.«rte. car alors la distance <ff esl nulle.
Le moment d*one forte par rapport à on axe peut être nul de deux manièfv< :
1 ' Quand 1 «1 forve rencontre Fjxe* car alors le pied de Taxe appariieot à la direction de b force projetée sur un plan normal :
2' Quand la forée est parallèle à l'axe, car alors la projection de la force sur un pbn normal est nulle.
Ces deux cas sont compris dins renoncé snivant : le mcmal ifinie forc^ par n^pport à un exe ^t nul çvoiuf la direeSm de h fiTce et Taxe >onl dans un même plan,
j5. On attribue dans le calcul aux moments des forces K*< signes -f- et — , d'aprîs les conventions suivantes.
Lorsque plusieurs forces agissent dans un même plan, on
iiiKit;ine que les points d'application de ces forcer sont entrai-
nt-< chacun dans la direction même de la force qui le sollicite;
chariin de ces déplacements fictifs peut être n^rdé comme
^ y le résultat d'une rotation autour do
/ ^^* point pris dans le plan pour centre ie^
.-^"" moments. Nous avons vu en cinématique
'^' comment on déterminait le signe d'ane
'^' ' rotation •!, S IG5); on lui donne le
signe -f- si elle s'opère dans un sens convenu (ordinairement
de gauche à droite), et le signe — si elle s'opère en sens
bVSE FORCE. 57
coniraire. On allribucra aux momcnls les mômes signes qu'aux rotations correspondantes. Ainsi le point 0 étanl le coiilPC des moments, et F, F',., des forces appli(|tii^es en divers points A, A'... du plan de la figure, le moment de la force F par m pport au point 0 sera égal à + F x OA , le moment de la force F', a — F'xOA'..., La somme algébrique de CCS deux moments sera FxOA — F'xOA'.
44. I.fl moment d'une force par rapport à un a%e reçoil le mCme^igncijiie le moment de la force projetée sur un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au pied de l'axe. La convention relative anx signes des moments par rapport â un point entraine une eonveniion pareille pour les signes des moments par rapport à un axe, et, par suite, une convention pareille pour les signes des moments par rapport à un plan.
Soit, par exemple, AK une force appliquée en un point A et agissant dans le sens AF, et soient 0\, OY, OZ trois axes coordonnés rectangulaires.
Projetons In force sur les trois plans XOY. YOZ,ZOX, qui sont respective- ^-^ ment normaux aux trqis axes; nous '^ " '
obtiendrons les forces A'K', A'F" et A"'F"'. Du point 0 abaissons des perpendiculaires OP, OP', OP" sur ces trois forces; les moments de la force AF par rapport aux axes seront en
[ Tiieut
absolue,
p»r rnpporl k Vn
pif rapport ï l'ai
et pnr rapport ï l'ai
A'F'XOP, A-fxOP,
mais la direction de la force A'F' tend â entraîner le point A' autour du point 0 dans le sens qui amènerait l'axe OY vers l'axe OX. c'est-à-dire dans le sens négatif; on devra donc donner le signe — au moment par rapport à l'axe ÛZ. A» contraire, la force A''F" tend à entraîner son point d'application dans le sens de OY vers OZ, sens positif; la force A"'F"' tend
bS MOMENT
de mâme à entraîner son point d'application dans le sois positif, de OZ vers OX. On donnera donc le signe + aux moments par rapport à Taxe OX et à Taxe OY ; et en définitive les moments de la force AF par rapport aux trois axes seront
par rapport à l'axe OZ, — AT'X OP, par rapport à l'axe OX, 4- A'F» x OP', et par rapport à Taxe OY, +A"'F'"xOP'.
Les formules générales que nous donnerons un peu plus loin rendront inutile cette discussion de signes dans chaque cas particulier.
45. La valeur absolue du moment d'une force peut être représentée par une aire plane.
Soient A le point d'application d*une force, AF la force en grandeur et en direction, et 0 le centre des moments; faisons passer un plan par le point 0 et par la force. Abaissons du point 0 la perpendiculaire OP sur AF. La valeur absolue du ®^~ ^* moment de la force AF par rapport au
point 0 sera le produit AF X OP. Joî- Fig. 39. gnons OA, OF ; le triangle OAF ainsi formé
a pour mesure la moitié du produit de sa base AF par sa hauteur OP ; donc le moment de la force peut être représenté par le double de la surface du triangle O.AF. La même interprétation géométrique peut être donnée nu moment d'une force par rapport à un axe ; il est égal au double de Taire du triangle qui a pour base la projection de la force sur un plan normal, et pour sommet le pied de l'axe; cela revient à dire que le moment de la force par rapport à Taxe est égal en valeur absolue au double de la projection, sur un plan normal à Taxe, du triangle formé en joignant un point quelconque de Taxe aux extrémités de la droite qui représentée force.
On remarquera que, dans ces sortes de produits, l'un des facteurs représenle une longueur, et le second facteur une force; Tunité de force et l'unité de longueur restent d'ailleurs tout à fait indépendantes l'une de Tautre. La mécanique offre
X exemples de ces quantités compicxesqui résultent de la multiplication de facleurs représentant des quantités de difiérentes natures.
4(J. Soit AF (lig. 40) une force appliquée en un point A, et 0 un point fixe pris arbitrai rem rnl dans l'espace. Par ce point menons un axe OZ, perpendiculaire au plan conduit par la force AF cl lepoinlO.Le moment, AFxOP, de la force F par rapport au point 0 est identique au moment de la force F par rapport à l'ase OZ; il est égal au double du triangle OAF.
Proposons-nous de trouver le moment de la force F par rapport à un autre axe OS mené par le point 0. "'' *"'
Il suflim d'imaginer par ce point un plan tlR' perpcmliciilaire au nouvel axe, et de projeter le triangle OAF en Onf sur ce plan. Le moment cherché est le double de l'aire du triangle Oaf.
Mais prenons sur l'axe OZ, à une échelle arbitraire, une longueur OB égale au produit AFxOI', c'est-à-dire représentant à l'échelle le double de l'aire du triangle OAF. L'axe OS fait avec l'axe OZ un angle SOZ égal à l'angle du plan liH' avec le plan OAF, de sorte que, si nous projetons la longueur OB sur la direction OS, nous obtiendrons une longueur Ob qui représentera, à la même échelle, le double de l'aire du triangle Oaf, c'est-à-dire le moment de la force F par rapport à l'axe OS. On voit donc qu'il sera facile de trouver le moment d'une force F par rapport à tel axe OS qu'on voudra, connaissant le moment de celte force par rapport à un point 0 pris sur cet axe. 11 suffit, en effet, de mener par le point 0 une perpendiculaire OZ au plan conduit par la force F et le point 0, et de prendre sur celle droite, à partir du point 0, une longueur 011, représcninnt à une échelle arbitraire le moment de la iorce F par rapport au point 0. Le moment de la force F par rapport à l'axe OS sera représenté, à la même échelle, par la projection sur OS de la
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longueur OB, et Ton aura }llJP=}lJPxcùSaj a èlanl l'angle ZOS. Pour définir le sens du moment, on peut, comme nous Tavons indiqué en cinématique (§ 163), mener Taxe OB de telle sorte, que Tobservateur placé les pieds en 0, la tête en B, voie la force F solliciter son point d'application à tourner autour du point 0 dans le sens des rotations positives. La droite OB aura alors une direction, un sens et une longueur bien déterminés.
La construction géométrique du moment par rapporta Taie OS fait voir :
Que Ob est toujours moindre que OB, de sorte que h moment (Tune force par rapport à un point est en valeur absolue le maximum des moments de la force par rapport à tous les axes quon peut mener par ce point;
Que les moments de la force F par rapport à toas les axes OS, qui font un même angle, ZOS, avec Taxe OZ, sont égaux entre eux ;
Que les moments sont nuls par rapport à tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ, ce qu'on savait déjà, puisque tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ est contenu dans un plan passant par la force F;
Qu'enfin les extrémités b des droites finies Ofr, qui représentent la grandeur des moments par rapport à leurs propres directions, sont situées sur une surface sphérique, décrite sur OB comme diamètre. En effet, si on fait mouvoir l'axe OS dans le plan BOS, le point b, projection du point B sur la direction variable OS, décrira dans ce plan une circonférence dont OBsera le diamètre, et cette circonrérence, en tournant autour de OB, engendrera dans l'espace une surface sphérique qui sera le lieu de tous les points b.
47. Ces préliminaires posés, venons à la démonstration du théorème des moments, qui consiste dans l'énoncé suivant :
Le moment, par rapport à une droite XY, de la résultante de deux ou de plusieurs forces, toutes parallèles ou toutes concourantes, est égal à la somme algébiùque des moments de chacune de ces forces par rapport à cette droite XY.
