THÉORIE

54. On peut transporter un couple partout où foii voudra^ dans son plan, ou dans un plan parallèle y et F orienter comme on voudra dans ces plans^ enfin on peut substituer à un couple m autre couple de même moment^ sans troubler Véquilibre.

La démonstration exige que Ton considère successivement chacune de ces altérations.

l"" On peut, sans troubler l'équilibre, faire tourner le couple d'un angle quelconque dans son plan autour du milieu I de son bras de levier.

Soit (F, F') le couple dans sa position primitive ; AB son bras de levier ; soit (F^, ¥\) le couple dans sa seconde position, et A^B^ son bras de levier. Il suffira de démontrer quele couple (F,,F'J, obtenu en changeant le sens des forces du couple (F^, V\)y fait équilibre au couple (F, F^) ; car s'il en est ainsi, on pourra appliquer au système les quatre forces Fj, F„ F^, F', qui se font équilibre deux à deux, puis supprimer les forces F„ F, F',, F' qui se font équilibre, et il restera le couple (F^, ¥\).

Or les forces P, et F' se coupent en un point L, où Ton peut les supposer appliquées ; elles se composent en ce point en une seule force LS, dirigée suivant la bissectrice de leur angle; la résultante LS passe donc par le point I. De même, les forces F et F, se composent en une seule KR, dirigée aussi suivant la bissectrice de leur angle, et passant par le point I. Enfin les forces LS et KR sont égales et de sens opposés. El comme elles peuvent être supposées appliquées au mémo point I, elles se font équilibre.

Le système (F^, ¥\) est donc équivalent au système (F, P).

2"" On peut, sans troubler l'équilibre, déplacer un couple parallèlement à lui-même, dans son plan ou dans des plans parallèles.

Soit F, F' le couple donné; AB, son bras de levier. Trans-

ULS COliriES. Ï3

t de levier parallèlement à lui-même en une postlion quelconque A,B„ el en chacun des poinls A,, B,, appliquons lipus forces contraires, F^, F,, et F',, F'„ égales el parallèles aux forces F et F'. Il suEfira encore de prouver que le couple (F,, F',1 fail équililire au couple (F, F'), pour élablir que les couples (F, F') et (F,, F',} sont équivalents.

Or joignons AA,, BB, ; ta figure AA,B,B, dans laquelle ÂB est égal et parallèle à A,B,, est un paratlùlogramme, dont les diagonales AB„A,B se coupent au point 0 en deux parties égales. Les forces F elF',, ^. , ^.J

égales, parallèles et de même sens, se composent en une force unique OB, appliquée au point 0, paraUèle aus forces données, et égale à leur somme 2F. De même, les forces F, el F', égales, parallèles et de même sens, ont pour résultante une force OB', appliquée aussi au point 0, dirigée en sens contraire de OR, et égale à 2t'. Les deux forces R et R', appliquées au même point, sont égales et contraires, el se font équilibre. Il reste donc le couple (F,, F',), c'est-à-dire le couple donné, Iransporlé parallèlement î lui-même.

3* ICn combinant le transport parallèle du couple cl la rolalion dans son plan autour du milieu de son bras de levici', on amènera le couple û occuper telle position qu'on voudra, dans un plan parallèle à son plan primitif. Il reste à prouver que l'on peut modifier arbitrairement la force pourvu qu'on altère en conséquence le bras de levier, el que deux couples de même momenl, qui agissent dans des plans parallèles, sont équivalents au point de vue de l'équilibre. Puisqu'on peut les déplacer, on peut supposer loul de suite qu'ils sont situés dans le même plan, et que leurs bras de levier appartiennent i une seule et même droite.

Soit AB le bras de levier du premier couple, et A,B, le bras de levier du second; F, ï' les forces égales du premier, et