AP, AD, &F

La figure Afp?, est donc semblable à la figure AFRF,, et pnr suite Ap, axe du couple résullant, csL la résullante géoiiu'-- Iriquc des ases A9, Aj, des couples composants.

De là résulle la n'-gic suivante, qui est tout à fait générale, « I qui s'applique aux couples situés dans des plans parallèles un dans des plans qui se coupent :

Pour composer des couples donnés, on conslruira en un même point de l'espare les axes de chacun de ces couples ; puis on coin posera ces axes à la manière des forces. La résultante sera l'aie du couple résultant.

Inversement, on peut décomposer un couple donné en trois couples situés dans trois plans quelconques, non parallèles deux à deux. Il surill de tnenei' par un mémL' point de l'espace l'axe du couple donné et des normales aux trois plan", puis de décomposer l'axe suivant les arêtes du Iriédrc formé par ces normales. Les composantes seront respectivement les axes des couples cherchés.

58. Remarquons l'identité des règles de la composition des forces et des couples avec les règles cinéinaliqucs de la composition des rotations el des translations. Celle identité est parfaite, pourvu que l'on assimile les forces aux rolaliousy d'une part, les couples aux translations, de lautie. Le tableau suivant fei-a ressortir cette analogie.

CIKiaàTIqCË.

Une ntalion est définie quand on connatt )■ posilion de t'axe autour duquel elle s'opère, le un* dans li?qutl elle a lieu, el sa viteue anyu-

On 1^ représente par une druile finie, prise sur l'axe, dans un certain sens, à pcflir d'itn point qutl-

Uiie force esl définie quaiiJ un connaîL la posilion de la droite suivaut laquelle elle agit, le uni dans lequel elle agît, et son intensité.

On la représente par une di'oile finie, prise sur sa direction, dans le sens où elle agit, à partir d'tiii point quelcontiue, que l'an considère comme ton point d'application.

ANALOGIE AVEC LA CIKÉXAnQUC.

Deux rotations concouranteê se composent en une seule par la régie du parallélogramme des rotations.

Deux rotations parallèles se composent en une seule, égale à leur somme algébrique. Le centre de la rotation résultante partage la distance des centres des rotations composantes en segments réciproquement proportionnels aux rotations données.

Deux rotations parallèles , égales et contraires forment un couple de rotation y qui équivaut à une transh' tion. La vitesse de la translation résultante est le produit de la vitesse angulaire commune aux deux rotations par la distance des axes.

Une translation se représente par une droite finie, parallèle à la vitesse de la translation, dirigée dans le même sens, et qu'on peut transporter partout où Ton voudra, parallèlement à elle-même.

Deux translations se composent en une seule au moyen du parallélogramme des translations^ construit en un point quelconque de Tespace.

Deux forces concouranteê se composent en une seule par la régie da parallélogramme des forces.

Deux forces parallèles se composent en une seule, égale à leur somme algébrique. Le point d*applicatioD de la résultante partage la distance des points d'application des composantes en deux segments réciproquement proportionnels à ces composantes.

Deux forces parallèles^ égales d contraires, forment un couple.

Le moment du couple est le produit de la valeur commune aux deox forces par leur distance, ou kras de levier.

Un couple peut se représenter par son axe, droite finie, égale à son moment, élevée dans un oertaia sens perpendiculairement à sot plan, et qu'on peut déplacer comme on voudra parallèlement à eOemême.

Deux couples se composent en m seul au moyen du paraliélogramms des axes^ construit en un point quelconque de Tespace.

La composition des forces et des couples appliqués k un même corps solide complétera cette analogie, et fera reconnaître en statique des propriétés correspondantes à celles qui ont été établies en cinématique, pour la réduction du mouvement général d^un solide à deux rotations, ou à une rotation et à une translation, ou enfin au mouvement hëlicoidal le long et autour de Vaxe instantané glissant.

CnAl'ITRE III

M POSITION n RÉDUCTION I

«PPLigUËES A UN CORPS SOLIDE

l *U mOINOnC NOMBRE OEB FORCEi

50. Un corps solide, libre dans l'espace, est sollicité par un nombre quelconque de forces ; on donne pour cliarniio sou point d'application, sa direction el son inleusilè. On demande de substilucr à ces forces d'aiilrcs forces cqtiivak'ules au point de vue de l'équilibre, et dont le nombre soit le plus petit possible. Les exemples que nous avons déjà examinés peuveal éelaircir ce problème. Lorsque les forces sont ou concourantes, ou parallèles, on peut les réduire îi une furce unique, leur réiuUaJile, sauf le cas où l'on obtient un couple ; les forces données se réduisent à deui dans ce dernier cas, el l'oo ne peut pousser plus loin la réduction.

Nous ferons voir dans ce chapitre que l'on peul toujours réduire à deux farces un système quelconque de forces appliquées à un système solide, et que la réduction à une force unique n'est possible que dans des cas particuliers.

Le problème de l'équilibre des systèmes solides sera résolu dès que nous aurons trouvé les lois de celle réduction. Car il parait évident que deux forées appliquées à un mémo système ne peiivoni fc faire équilibre qu'à la condition d'être égales, et appliquées en sens contraires en deux points d'une niûme din:ctii)nf On saura donc qu'un corps solide est en équilibre, en Tériûaul que les forces qul&alUçitcntce coips peu\ent se réduire à deux foi ces remplissant ces conditions.

82 COMPOSITION DES FORCliS

nÉDUCTION DES FORCES k TROIS.

60. On peut toujours réduire les forces qui sollicitent un corps solide à trois forces dont les points d'application soient trois points A, B, C, pris arbitrairement dans le solide.

Soit F une des forces données, M son point d'application. Nous pouvons supposer cette force appliquée en un point 0 quelconque, pris sur sa direction. Joignons OA, OB, OC. Généralement ces trois droites ne seront pas dans un même plan. On peut les considérer comme les directions des arêtes d'un parallélépipède dont la diagonale aurait pour direction la droite OF. On pourra donc décomposer au point 0 la force OF'=F en trois composantes ^''^' ^ OR', OS', OT', dirigées suivant les droites

OA, OB, OC. Ensuite on peut transporter les forces OR', OS', OV aux points A, B et C, ce qui donnera les trois forces AR, BS, CT, qui remplacent la force donnée MF.

On opérera de même pour chacune des forces données; et pour chacune on obtiendra trois composantes, appliquées Tune au point A, Tautre au point B, la troisième au point C.

Toutes les forces appliquées en A se composeront en une force unique par la régie du polygone des forces ; toutes les forces appliquées en B se composeront aussi en une seule; toutes les forces appliquées en C se composeront de même. On obtiendra donc, par cette décomposition et celte recomposition, trois forces,appliquées, la première en A, la deuxième en B, la troisième en C, et qui équivaudront à l'ensemble des forces données.

La (lécomposilion est d'ailleurs possible d'une infinité de manières, car elle dépend de la position arbitrairement assignée au point 0 sur la direction MF.

Afl'LlOlIEES \ UH SOLIUE.

n£DiicTiu> DES Tnoia i

Cl . Nous venons de ramener les forces données à (rois forci s R, S, T, appliciuées respectivement aux poinls A, R, C du folide (fig. 54). Nous allons rùdiiircces Irois t'urces à deux seukmcDl. Par le poini A, nrlii- Irairemcnt pris sur la direrlion de l'une des forces R, cl la force BS, nous pouvons faire passer un pl.in. Ce plan coupera gL^nôralenienl la droite CT

en un point M oîi l'on peut sup- U- ' ■' 'J

poser la force T transportée. p Joignons AM; celte droite ren- Fig. h.

contre la direction BS en un

point B', et nous pouvons sifppi'ser la force S appliquée en ce point. Uans le plan ABSM, menons par les points A et M deux droites AA', MM', parallèles à CS , puis décomposons la force S on deux forces parallèles , respecLivemcnt appliquées aux points A et M ; la règle des forces parallèles nous donne immédiatement les valeurs des composantes.

suivant MM',

Suivant AA', la composante AS,^Sx-r4i. et

AB' la composante MS, = SXtû-

On peut donc remplacer la force S pnr ses composantes .\S, et MS,; ensuite on peut composer S, avec R, S, avec T, p.w la ri>gle du paralléloi^ramme. Ces opérations conduiseul i\ deux forces AP, MQ, équivalentes aux trois forces R, S, T. el par suite équivalentes aux forces primilivomcnt données.

On voit de plus que les forces se réduiiont h une seule, si les deux forces AP, MQ sont dans un même plan.,

Xoire raisonnement suppose que le plan conduit par le puint A et la droite BS rencontre quelque part la droite Cl. Il