CHAPITRE PREMIER

•es LIAISONS, ET DE L'ÉQUILIBRE DU POINT NON LIBRE

DÉFUClTiOfl DES LIAISOMS EN MÉCANIQUE.

74. Un point matériel est libre lorsqu'on peut lui attribuer iedifferemment dans l'espace telle position qu'on voudra, et le faire passer de celte position à une autre par un chemin entièrement arbitraire, le long duquel il ne rencontre aucune résistance. Lorsqu'il en est autrement, le point matériel nest pas libre, et on dit qu'il est assujetti à certaines liaisons. Par exemple, un point matériel M, attaché à un fil inextensible OM, dont rexirémité est fixée tn un point 0 donné, n'est pas libre, puisqu'il ne peut s'éloigner du point 0 d'une quantité supérieure à la longueur OM. Il est donc assujetti, par la liaison ainsi définie, à rester soit dans l'intérieur de la sphère décrite An point 0 comme centre avec la distance OM pour rayon, >oit à la surface de celte sphère.

Au fil OM substituons une barre rigide, inextensible et incompressible, articulée au point 0 ; la liberté du point M sera encore plus restreinte que tout à Theure; non-seulement il ne ^urra s'éloigner du point 0 à une distance plus grande que OM, mais encore il ne pourra se rapprocher du point 0 à une dis-

Fig. 68.

108 DCFI ITION

lance moindre. La liaison a donc pour eflet d'assujettir le point matériel à se mouvoir à la surface de la sphère qui a pour rayon OM, et pour centre le point 0.

Imaginons que le point M soit placé à rextrëmitë commune de deux tiges rigides OM, O'M articulées aux points 0 et O', que Ton suppose fixes. Cette double liaison maintiendra à la fois le point mobile à des distances données du point 0 et

du point 0'. Le point M est à la fois

A sur la sphère décrite de 0 comme centre

I çy avec OM pour rayon, et sur la sphère dé-

1 "7* crite de 0' comme centre avec CM pour

;' jy^ rayon ; il est donc assujetti par la liaison

'^ à se mouvoir sur la courbe d^inleriedion

Fig. 69. de ces deux surfaces sphériques, c'est-i-

dire sur la circonférence décrite dans on plan normal à 00', du pied, A, de la perpendiculaire abaissée do M sur celte droite, comme centre, et avec la distance AM pour rayon. Le point mobile se trouve ainsi lié à une courbe fixe.

Si nous remplaçons les barres rigides OM, O'M par deux fils inextensibles, le point M ne sera plus assujetti par ces liaisons qu'à demeurer à rintérieur ou à la surface des sphères décrilcs avec OM et O'M pour rayons; les liaisons le forcent alors à demeurer dans la purlie commune aux volumes de ces deux sphères.

Nous venons de reconnaître ainsi trois genres principaux de liaisons pour un point matériel :

Le point peut être renfermé dans une portion définie de l'espace ;

Il peut ôlre assujctii à glisser sur une surface; Il peut enfin ôlre assujetti à glisser sur une ligne. 75. Les points matériels qui composent un sysième peuvent ôlre aussi soumis à diverses liaisons. Par exemple, deux poinis particuliers peuvent être assujettis à rester à une distance constante Tun de Taulre. Cela revient à supposer ces deux points réunis par une barre rigide. Un solide invam}M n^est autre chose qu'un système dans lequel les distances mu*

DES LIAISUNS. im

tuelles des points matériels, pris deux à deux de toutes les maoi<^rcs possibles, sont constantes.

Certains points du système peuvent glisser sur des surfaces ou des lignes données, ou rester dans une portion définie de l'espace, ou encore conserver des positions fixes. Le système matériel peut se composer de deux parties dont l'une soil Bssujeliie à rouler ou à glisser sur l'autre dans leur mouvement relatif, etc.

Si le système est solide, on peut imaginer qu'il ail un point tixe : chaque point du système sera alors mobile à la surface d'une sphère décrite de ce point comme centre ; ou bien qu'il ail deux points fixes : alors le corps solide pourra soulemeiil lourner autour de la droite qui joint ces deux points; ou encore, qu'il repose sur une surface fixe, avec laquelle il peut avoir un ou plusieurs points communs.

Ces exemples suffisent pour faire comprendre ce qu'on gppelle liaison dans la mècuiiique. Le caractère commun des Itaitou» qu\m impose à un système est la restriction des mouvements admissibles pour ce système. On dit que les liai- WQS sont co.iiplèles, lorsqu'elles siifnsent pour définir les trajectoires de chaque point, et les rapports des vitesses simultanées des points sur ces trajectoires. Par exemple, un corps nlide, assujetti ii tourner autour d'un axe fixe, est un sjjslime t liaisom complètes; car chaque point est forcé par les liaisons de décrire autour de l'axe lise une circonférence particulière, et a un instant quelconque, les vitesses des différeots points sont entre elles comme leurs dislances à l'axe. Toc seule équation suftit dans ce cas pour définir le mouvemenldu système.

Il ne faut pas oublier d'ailleurs que les liaisons peuvent être entièrement fictives ; nous verrons même qu'il en est toujours aiftsi, cl qu'il n'y a en réalité dans la nature que des points libres sollicités par des forces.

76. Les liaisons d'un système tiennent lieu de forces, el l'on peut toujours supprimer la liaison en y substituant les forces convenables. Supposons un système à liaisons

FORCES TBNAHT UIV

Flf. 70.

en équilibre. Les forces données qui sollicitent ce système peuvent ne pas élre en équilibre par elles-mêmes, c'est-à-dire sur le système supposé libre ; pour les tenir en équilibre, il faudrait introduire de nouvelles forces ; les liaisons qui complètent Téquilibre équivalent à ces forces additionnelles. Par exemple, supposons qu'un point matériel unique II

glisse sur une surface fiie S. Ce point est solicité par une force MF, donnée de grandear et de position. S'il y a équilibre dans la position particulière où se trouve le point M, m en conclura que la surface S exerce sur k point H une action ^le et contraire à IDC Cette force — F sera la réaeHan de la aurbee, ou la force tenant lieu de la liaison due à cette surface.

Si un système solide en équilibre a un point Oxe, on pomia remplacer de même la fixité du point par une force convenabk appliquée en ce point et tenant toutes les autres en équilibre. Outre les farces extérieures et les farces bitériewres, que no» avons déjà distinguées (g 7), il y a donc encore à conaidéfer les farces tenant lieu des liaisanSt si le système matériel doat on étudie l'équilibre n'est pas composé de points libres, les forces dues aux liaisons peuvent être intérieures ou eitérieures. Par exemple, si, dans un système matériel, deax points sont réunis par une tige rigide de longueur constante^ les forces tenant lieu de cette liaison seront la tension ou pression de cette tige, appliquée è la fois aux deux points qu'aile réunit ; ce sont dans ce cas des forces intérieures mutneRBi. Au contraire, lorsqu'un corps solide a deux points fixes, ks forces tenant lieu de ces liaisons sont les réactions des points fixes; ce sont des forces extérieures, au même titre qoefcs forces appliquées aux autres points.

77. La force qui tient lieu d'un point fixe est une force siffb-

quée en ce point ; sa direction et son intensité sont inconnues.

Lorsqu'un point matériel H est assujetti à glisser sor

une surface matérielle fixe S, la force F qui peut reffi-

placer celte liaison, est une force appliquée à ce point ml^

|iES Lni>05S.

lut &e dâcoinposer en deux : l'une, N, nnrmulc ii la surface, el laulro, T, dnns le plan langent, La composante HN s'ap|>elle la réaclion tionnale. La composante MT est le frottetiieiit : nous aurons plus lard à en eiposer les lois.

On a reconnu par l'expérience que, lorsqu'on Tait glisser un corps sur une suri'ace malërîelle, la composante MT de la réaction totale est d'autant moindre qu'on a donné ;iui surfaces en contact un plus grand ^'«- "'

degré de poli. Si d'ailleurs la suri'ace S est une ! géométrique, idéale, on doit admettre que cette i saule MT est rigoureusement nulle, ou que la réaction totale SIF coïncide avec la réaction normale MN. Une surface géométrique directrice restreint la liberté du point qui la parcourt, en ce qu'il ne peut s'écnrtcr de la surface dans un sens ou dans l'autre, mais elle lui laisse une entière liberté pour le glissement tangentiel, au moyen duquel il passe d'une position à une autre; cela revient à dire qu'elle ne développe aucune lésislancc capable de nuire à un tel glissement, en d'autres termes, aucun frottcmenl. Dans celle hypottièse, que l'on fait généralement dans la mécanique rationnelle, la réaction d'une surface sur un point assujetti à la parcourir est normale à la suiface. Elle est donc connue d'avance en direction, mais il reste à déterminer sa grandeur et son sens. Observons en outre que si le point est simplement posé d'un côté de la surface, au lieu d'y filre complètement lié, c'est-à-dire si la surface n'est qu'une limite de la région de l'espace dans laquelle il peut se mouvoir, la réaction de la surface est ou nulle, ou dirigée vers cette légion; car, en vertu du principe de l'action et de la réaction, les forces qui agissent sur le point matériel supposé en équilibre ont une résultante égale et contraire à la réaction de la surface ; si celle-ci pouvait être dirigée vers la rqpon où le point ne peut pénétrer, la résultante des forces serait dirigée en sens contraire, c'est-à-dire dans le sens

112 ÉQUILIBRE D'UN POIKT

OÙ la surface ne fait pas obstacle à l'entraînement du point.

On traiterait de la même manière le cas où le point malëriel est assujetti à glisser sur une ligne. Si Ton admet qu*il n'y ait aucun frottement, et c'est ce qu'on doit (aire lorsqu'il s'agit d'une courbe géométrique idéale, la réaction d une ligne sur le point qui la parcourt est normale à celte ligne; elle n'est donc connue immédiatement ni en intensité, ni en direction, car il y a en un même point d'une ligne une inBnité de normales, toutes contenues dans le plan normal ; on sait seulement que la direction cherchée est comprise dans ce plan.

78. On applique souvent en statique la proposition suivante, qu'on peut regarder comme un axiome :

Quand un système matériel est en équiUbre^ on peut^ sens troubler V équilibre^ y introduire telles liaisons nouvelles qu^tm voudra.

L'introduction de nouvelles liaisons n'a d'autre effet que d'empêcher les mouvements que pourrait prendre le système; or il est en équilibre par hypothèse , et ne tend pas à se déplacer. Son équilibre est donc assuré a fortiori.

ÉQUILIBRE D'un POUfT MATÉHSL ASSUJETTI À GLISSEE SANS FBOTTEMEirr