SUR UNE SURFACE FIXE

79. Un point matériel M est assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe S. Ce point est sollicité par une force F, connue en grandeur et en direction pour chaque position que le point M peut prendre. On demande quelle position il faut donner au point mobile pour quil soit en équilibre.

Dans la position clierchée, il y aura équilibre entre la forccF et la réaction R de la surface ; la réaction R est par hypothèse normale à la surface, et il faut pour l'équilibre qu'elle soit directement opposée à la force F; donc la position chercWHj est celle pour laquelle la force F a une direction normale à la

Fig. 1i.

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surface S. La réaction R est alors égale à F, mais dirigée en sens contraire.

Supposons, par exemple, que la force F soit constante en grandeur et en direction, et qu'elle agisse sur le point M parai- Iclemcnt à un axe fixe OZ. 11 faudra pour l'équilibre que le point M soit placé en un poiol Ici, que la normale en ce point soit parallèle à l'axe OZ, ou tel, que le plan tangent en ce point soit normal à l'axe. Si la surface donnée est une sphère (fig. 72), les poinis cherchés seront à Tinlerseclion de la sphère avec une droite menée par son centre C, parallèlement à OZ : ce qui fournil deux points A et A', où il peut y avoir équilibre.

Supposons que la force F soit dirigée de haut en bas, ou dans; le sens ZO. Dans la position A, le point mobile sera sollicité par la force F et par la réaction 1t de la surface, égale à F, et dirigée de bas en haut, c'est-à-dire vers le centre C de la surface.

Dans la position A', le point M est en équilibre sous l'action des mêmes forces F et R, mais la réaction R, toujours dirigée de bas en haut, s'exerce vers l'extérieur de la splièrc, c'est-àdire de dedans en dehors. De ces deux positions, l'une, la position A, correspond à Yéquilibre stable, parce que si l'or, déplace infiniment peu le point M de sa position d'équilibre, il tend à y être ramené par la force F ; l'autre, la position A', correspond a l'équilibre instable, parce que la force F ne tend pas à y ramener le point M lorsqu'on l'en écarle infiniment peu.

Si. au lieu d'une sphère, le point M était ussujelli à glisser à la surface d'un cylindre droit ayant pour base, dans le plan ZOX, le cercle C, et pour arêtes des droites parallèles à l'axe OY, la force F étant toujours parallèle à l'axe OZ, on trouverait une infinité de positions d'équilibre pour le point M,

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savoir : tous les points de Tarète inférieure passant par le point A, et tous les points de Tarète supérieure passant par le point A' ; la première arête correspond à l'équilibre stable, It seconde à Téquilibre instable.

Enfin, il n'y aurait aucune telution au problème si Ton donnait pour surface S une surface n'ayant en aucun de ses points un plan tangent normal à la direction correspondante de la force. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si la surfaceS était un cône droit dont Taxe fût parallèle à OY, la force F étant toujours parallèle à OZ ; car aucun plan tangent de h surface conique ne serait parallèle au plan XOY. L'équilibre du point M serait donc impossible.