Xdx + \dy + ldz = t
On a d'ailleurs, en dilférentiant les deux équations de la ligne L,
, + P, + 'jLd. = 0.
^ày di
ÉQUIUBRB DDH POIKT
Entre ces trois équations, ëliminons les rapports ^, -^^
l'équation finale sera la condition cherchée.
Cette équation finale s'obtient en égalant à léro ie déterminant du groupe
S et * dit M
Car, si ce déterminant n'était pas nul, les quantités iXj i^, à devraient être toutes les trois égales à léro pour satisfaire i . la fois aux trois équations : ce qui est impossilde, puisque l'une d'elles doit rester arbitraire.
La condition d'équilibre est donc, en développant le délo^ minant,
»> '(^S-âS)-'(Êt-SS)*«(Èg-gS)-'
Cette équation doit être jointe aux équations (1) de la ligne donnée, ce qui achève en général de déterminer la position d'équilibre du point.
On pourrait procéder autrement. Multiplions la premièfe des équations (3) par une indéterminée X, la seconde par une autre indéterminée X', et ajoutons l'équation (2) aux équations (3) ainsi préparées; nous pourrons disposer des coefficieoti indéterminés X et X' de manière à égaler séparément à séro la coetlicients des différentielles dXj dy^ ds, et nous obtiendrons ainsi les trois équations
ai
La condition d'équilibre résulte de rélimination de X et de V
SUR ISE COUnUE FIXE. HG
liions (5). On rt:lo[nlJC ainsi sur l'équalion (4) àtja obtenue- De plus, les trois équations (5) expriment l'équilibre d'un point libre sollicilâ par trois forces, savoir :
La force donnée {X, Y, Z) ;
rfs
Une force dont les composantes suivant les axes sont Ts^-t 0;
X^. 'k-r> et qui esl normale k la surface p
Une force dont les composantes sont '/'y'
et qui est normale h la surface 6^0.
La seconde méthode fait donc connaître a la fois la condition d'équilibre et les réactions des deux surfaces S et S' dont l'intersection constitue la ligne L. Ces réactions, cnuiposécs ensemble, donnent la rùaction de la ligne sur le point.
84. rnoBi.È)iE. — Équilibre d'un point pesant , assujetti à glissfr sans frottement sut une hélice dont l'are est ineliité à fheriion .
Soit Û'O* (fîg. 76) la projection de l'axe de l'hélice donnée sur un plan vertical parallèle a cet axe. Menons dans ce plan une horizontale ZZ'. l'angle de (yO" avec ZZ' sera l'inclinaison surl'horiion de l'axe de l'Iiélice, ou de toutes les génératrices du cylindre h la surface duquel elle est tracée. L'hélice se projelte sur le plan vertical suivant une courbe sinueuse, A'l'B'r,A'ril'..., qui n'est autre qu'une sinusoïde.
Un plan A'C mené normalement â l'axe de l'hélice coupe le cylindre suivant une circonférence. Rabattons ce plan sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de son intersection avec ce plan. Nous obtiendrons le rabattement du cercle de base du cylindre ; son centre sera en 0, projection de l'axe CO*, et la circonférence AllKBIl.A sera la projection commune, sur ce plan auxiliaire, de toutes les spires successives de l'hélice.
La force qui sollicite le point mobile M est la pesanteur; elle agit parallèlement au plan vertical, et perpendiculaire-
