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ment à la droite ZZ'. Les positions d'équilibre SMit celles oA la direction de la force est normale à Is couiite, c'est-inlire où la force fait un angle droit aiec la tangente à la courbe. U tangente à l'hélice aux points cherchés doit donc être perpendicubire à la verticale, c'est-à-dire horixontale, et le problème est ramené à chercher les points de l'hélice où la tangente est parallèle h l'hui izon.

Les tangentes a l'hélice font toutes un même angle aicc l'axe (y(f, el cet angle est donné en vraie grandeur sur li figure; c'est l'angle que lait avec (yff la tangente IT meafe au point (Cinfiexion V de la sinusoIiJe. Transportons toutes les tangentes parallèlement a elles-mêmes en un même point de l'espace. Elles y formeront un cône droit à base circulaire; od plan horiionta] mené par le sommet de ce cAne coupera li surface suivant deux génératrices, qui seront parallèles lui tangentes horizontales cherchées. Il îuffira donc de trenS' porter ces génératrices du cane à l'hélice pour obtenir les points demandés.

Par le point A', menons para llèlemcnl à l'T une droite A'S,

SUR DNE nÈUce FIXE. 121

qui coupe en S l'axe O'O", et prenons le point S pour sommet du cûne des tangentes. Les gilinèratriccs exinîmes de ce cône seront SA', SC, et il aura pour hase dans le plan A'C la base même du cylindre. Par le point S, menons une parallèle SU' à m \ ce sera la trace d'un plan horizontal qui coupe le cdne suivant deuï gcnéralrices projetées toutes deux en SH' sur le plan vertical, et en 011 el OU, sur le plan de la section droite.

Il reste à ramener, par un déplacement parallèle, ces deux droites (OH, SU') et (OH,, SH') a èlre tangentes à l'hélice. Or observons que la langcnle l'Taupoinl (1, 1'), transportée sur le cône, y donne la génératrice, (OA, SA') ; le point 1, dans le cercle de liase, se trouve éloigné d'un quadrant, AI, en avant du pied A de la génératrice du cùne. Pour ramener la génératrice OH à élre tangente à l'hélice, il suiflt de même d'élever ÛK perpendiculairement à OH; le point E sera la projtclion, sur le plan de section droite, des points de l'hélice qui ont des tangentes parallèles à (0H,S11'). De même on aura, en élevant OK, perpendiculaire sur OU,, la projection K, de tous les points qui ont des tangentes parallèles â (OH,, SU').

Au point K correspondent une ïnTmilé de points K', K"... en projection verticale; au point K, correspondent d'autres points K,'. K,'... en nombre intini.

Les points K', K",... sont des positions d'équilibre du point mobile, ainsi que les points K,', K,"..., Mais les premières positions correspondent â un équilibre stable, tandis que les secondes coiTespondent H un équilibre instable.

Si l'axe O'C laisail avec 11' un angle 0'SU' = a suflisammcnl grand, la droite horizontale SU' pourrait passer au-dessus de la génératrice la plus haute du cânc; alors l'hélice s'aurait pus de tangente horizontale, et l'équilibre du point pesant serait impossible.

Soil ^ l'angle O'SA' des tangentes à l'hélice avec l'axe O'O".

U n'y aura pas de solution si P < î" ;

Si ^>' a, il V aura des solutions : les unes, situées toutes !ur la géiiéialrici K'K", correspondront à un équilibre stable;

1S! toniUBRB D'Ua POIST PBSIKT

les autres, situées sur la génératrice i%', correspondront ï

un équilibre instable;

Enfin, dans le cas limite ^^a, le pbo SB' est tangent au cane; les deux génératrices K'K' et K'.K'j se confondent en une seule et coïncident avec ts génératrice moyenne l'I*; les posilions cherchées sont situées aux points d'inflexion I', 1'..., et l'équilibre est conditionnel; c'est-à-dire qu'il est stable par rapport à tout déplacement qui amènerait le point mobile i droite <lu point 1', et instable par rapport à tout déplacement qui ramènerait i gauche du miîme point.

En définilive, l'équilibre serait instable dans ce cas particulier. Car le point mobile amené 6 droite du point I' retournerait d'abord, il est Yr.nî, au point I', mais il y arriverait avec une certuine vitesse qui lui ferait franchir cette position et l'amènerait du côté où la stabilité n'est pas assurée.

1^ stabihlé serait complète au contraire si l'on plaçait en r un arrêt empêchant le point mobile de passer à gauche de ce point.

Pour traiter la même question par le calcul, prenons pour axe des x l'axe de l'bélice, et supposons que la direction de la pesanteur soit contenue dans le plan ZO.V et donnée par ses deux composanles .1 et Z. Les équations de l'hélice seront

On aura Y = 0,

g-lr

L'équation (4)

deviendra

nu+

„Kj. + K«.