I -..il es est également nulle. Ces conditions socit
I sulllsanics. Une fois qu'elles sont remplies, on
, que la somme des projections des forces sur uii axe
■-•f nulle, et qu'il en est de même delà somme des
< 1 iiTcei par rapport à cet axe.
■:ilt' (le rccoiinallre que les èquadons d'équilibre se
lat trois équations (i) si les forces passent foutes pui'
ino;
Lus trois équations (2), si les Forces données prises deux Uix forment un système de couples ; I deux des équations (1) et à une des équations (2), si c^* sont toutes siluées dans l'im des plans coordonnés ; L une des équations (1) et â deux des équations (2), si ces sont toutes parallèles à l'un des axes coordonnés.
fS tQCnJBRE VJSS SOLIDE
PiT le point 0 faisons pass^ trois axes rectangulaires 01,
0\\ Oly el exprimons que les conditions d'équilibre sont rem
y^ plies i l'égard des forces données e*
de b réaction F. La somme des pro-
^ ^"^ ^s^ jections de toutes ces forces sur cb-
cun des trois axes sera nulle, et
la somme des moments par rapport
aux trois axes sera également nulle.
Or la force F passe par un point 0
qui appartient à chacun des trois
aie$« et son moment par rapport à chacun des axes est égtl
à lerv . par suite les sommes des moments des forces pir
nip^KHrt au\ trois axes doivent être nulles d'elles-mêmes.
Lji fonre F aura au contraire suivant les axes des compo- $atites« que les équations des projections feront connaître. >oieut \ « Y y l' les sommes algébriques des projectkns des toavs connces sur les axes, et L\ M\ N' les sommes algébriques des mouieuts autour des mêmes axes.
Kutiii jp^vious y. Y*, F les composantes de la force F (urallèles aux axes : les équations d'équilibre seront
l -rZ'=a,
les livis vlornrères. ne ronf^rmanl que les forces données, Nout U> livis vvuiiitior.s vî\\iuilibre. Les trois premières font « onuaitto Iv's cvMU(vs.iutes de h K'action du point fixe.
\\\ \y^\\\\\K\ f\nr sf%\n arps solide qui a un point fixesoii «f» i'./i»i.'*.**'.\ li /*.::*; c*: i <\f1i: *pie la somme des moments des /i'» s s s i/i»Mf(c\'>- f\ir ri:yi\'r: à Crcis axes menés par ce point soit r./,iii k) îtio. s*ii on o>l ains:, la somme des moments sera nullo \M\\ rapport à tout a\o mené par le même point. Celle ( oihliliou iv\iout à o3Lprimor que les forces ont une rcsultanle
on A u>* POINT me. iîo
unique passonf par le point fixe ; les sommes X', Y', Z' sonl les coRiposanles suivant les axes de celle r^sullonle, c'csi-à-dire de l'effort exercé par les forces sur le point \ la réaction du point sur le corps est une force tgalo el contraire, dont les composantes sonl — X', — Y', — Z', ainsi que l'indiquent les trois premières équations.
ÉUIIIUBUE D*Un SOIIDE QOl A DEUX rOtNTS FIXES.
8d. Soient 0 et A les deux points lixes ; la nxité de ces deox points assure la fixité de la droite OA tout entière. Prenons celte droite OZ pourFun des axes coordonnés ; plaçons l'origine au point Of l'un des points fixes, et menors dmx autres axes, OX, OY, rectangulaires el perpendiculaires au premier.
Nous pouvons supprimer la lîxit6 \^'
des points 0 el A, en inlroduisanl dus *,■/ % * forces convenables OF, AF', qui repré- y senlernnt les réactions de ces points, ^ Pour déilnir ces forces, que nous ne connaissons pas encore, décomposons-les parallèlement 3UI aies : la force F aura pour composantes \^, Y,, Z,, la lorce F' aura pour composantes X,, Y,, Z,. Soit OA^a, quantité donnée. Le corps esl en équilibre sous l'action des forces données, et des doux forces inconnues F et F' ; exprimons que l'ensembîc de toutes ces forces satisfait aux six équations d'équilibre. Appelons encore X', Y', Z', L', M', N' les sommes algébriques des composantes et des moments des forces données. La force F, passant par un point 0 qoi appartient aux trois axes, a des moments nuls par rapport à chacun d'eux ; la force F' a un moment nul par rapport à l'axe OZ, qu'elle rencontre; mais elle a des momcols différents de zéro par rapport aux axes OX et OY. Pour déterminer ces moments, nous appliquerons le lliéorèmc
a. — atc. cotucioT. 9
i26 ÉQUATIONS
87. Exprimons analytiquement ces diverses conditions. On donne pour chacune des n forces qui sollicitent le corps solide^ les coordonnées x, y, 2, de son point d'application, et ses composantes X, Y, Z, parallèles aux axes coordonnés , que pour plus de simplicité Ton supposera rectangulaires. Nous attribuerons à ces lettres les indices 1, 2,.-. tt, pour distinguer les forces données. Les trois composantes X', Y\ Tl de la résultante de translation R sont données (§ 65) par les équations
X' = X|-hXt+X5 4-...-hX«, Z'=Zi4-Z»4-Z3 4-...-hZn.
Pour que la résultante R soit nulle, il faut et il suffit que X'=0, Y'=0, Z'=0.
Le couple résultant a de même pour couples composants dans les plans coordonnés :
L' = (Ziyi-Vi) + (î5«yt-Y,^)4-...-h(Z«î/«-Yg5«), M' = (X|»| — Zi«j) 4- (X«sj— Zrt) + . . . + (Xiiîii — Z»x,), N'=(Y|Xj-X,yO-h(YrCt-ltyt) + ... + {Y«ar»-X.y»),
et pour que le couple résultant soit nul, il faut et il suffit que l'on ait à la fois
L'équilibre du corps solide s'exprime donc par six équations, qui ne sont autres que les six équations du § 65, dans lesquelles on aurait remplacé par zéro les composantes X% T\ Z', L^ M\ M', de la résultante et du couple résultant :
!Xi4-Xt4-Xs4-...4-Xj,= 0, Yi4-Y,H-Y5 4-...-l-Y, = 0, Z|-hZ,-hZ5+...H-Z« = 0,
(Z,y, - T,i|) -f (Zjy, - Y,î,) -f- . . . -h (Z^y» - Y,»«) = 0,
(«) { (X,3,-Z|aîj)+(X,aj-Z^)-h...+(X»5« — Z,ig) = 0.
(YjX, — X,yi) 4- lY,ap, — X^,) + , . . 4- (Yii*ii - Xiiyii)= 0^,
D'EQUIUGttE.
m, »Mis Qne fonne plus abrégée,
HZ,-ïî).
Z'.Jii-lz) =0,
Us IroU équations (1) sont appelées équations des compomta parallites atix axes; les trois équations (2), équa- Itm dit moments jmr rapport aux axes. l.e premier groupe expcime qui', lorsqu'un solide libre est en équilibre sous l'action de forces données, la tomine algébrique des projections des jltrtn un- trois axa rectangulaires est nulle; le second groupe etprime que la somme des moments des forces par rapport A Irm êxa rectangulaires est également nulle. Ces conditions sont ■tccMiûres L'I sufllsantes. Une fuis qu'elles sont remplies, on ed certain que la somme des projections des forces sur un axe fvJoiMfHe est nulle, et qu'il en est de même de la somme des mtmeMls des forets par rapport à cet axe.
Ilnt facile de reconnaître que les équations d'équilibre se itdoisent :
I' Aux trois équations (1) si les forces passent toutes par le point 0:
î Aui trois équations f2), si les forces données prises deux Mtdeuï forment un système de couples ;
3* A deus des équations (I) cl à une des équations (2), si les forces sont toutes situées dans l'un des plans coordonnés ;
4' A une des équations (1) et â deux des équations (-2), si b laites sont toutes parallèles â l'un des axes coordonnés.
