TRAVAIL
l'angle M'MF est obtus (fig. 100). Le travail élémentaire est nul
si le déplacement MM' est normal à la force F. Si Ton appelle ds l'arc MM' décrit par le point mobile, F la force, et 9 Tangle M'MF des deux directions MM' et MF, le travail élémentaire sera représenté en grandeur et en signe par le produit
produit positif si Tangle f est aigu, négatif s^il est obtus, et nul s'il est droit.
107. Lorsqu'un point M, libre ou non, parcourt une trajectoire AB, et est sollicité à chaque instant par une force F, variable en direction et en intensité, on appelle travail total de la force F, correspondant au passage du point mobile de la position M à une autre position M^, la somme des travaux élémentaires que l'on obtient en décomposant l'arc parcouru MM^ en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites . MM', H'M*, M^M*",... égales ou inégales.
Soient F, F', F% F'",... les forces successives, données en grandeur et on direction, qui sollicitent le point mobile pendant qu'il décrit chacun de ces élémenls, et Mw, M'm', M^m",... les projections, sur les directions des forces, des éléments de chemin décrit ; le travail total de la force variable est la somme
étendue à tous les éléments de Tare MMp ou plutôt c'est la limite vers laquelle tend celte somme, lorsque le nombre des parties MM', M'M'',... augmente indéfiniment. C'est donc l'intégrale
Fiy. 101
JFdscosf,
prise le long de la courbe, cuire les points M et M^. 108. Au lieu de projeter l'élément de chemin MM' sur la
aSeSim^M de la force, on peul projeter la force MF sur lu direction MM' du cliemîn décrit. On pcul en effet grouper d'une autre manîi^rc les facteurs du travail <!'lL'menlaire; au lieu de faire porter le facteur cos s sur l'arc lîs, on peut le faire porter sur la force F, ce qui donnera
FcMp X d< = rf« X Fcfisp,
OU le produit de l'arc décrit par la projection de la force sur la direction de cet arc, ou par la composante tamjeiUielle de la force F.
Dans toutes ces expressions, nous supposons r]ne les fncleurs ib el F sont pris en valeur absolue, et que le facteur cos 9 porte seul un signe, qu'il donne au produit.
Si l'on prend positivement les éléments ds de chemin décrit, il faudra donner à la composante langentioUe le signe + quand elle agit dans la direction du mouvement, et le signe — quand elle agit en sens contraire; le produit aura alors le signe convenable. Lorsque, a» contraire, le calcul assigne aux éléments ds tantôt le signe -t-, tantôt le signe — , il faudra, pour que le produit ait le signe fixé par la définition du travail élémentaire, prendre la composante tangcnliellc avec le même signe que l'élément rfs, ou avec, un signe contraire, suivant que la composante cl le déplacement sont dirigés dans le même sens ou dans des
I sens opposes,
' 109. I^ travail total d'une ■
I forceF, variable en direction
' et en intensité, agissant sur
I un point qui parcourt un
arc MM, de sa trajectoire, '■
' peut se déterminer par la
quadrature d'une courbe plane. A la somme {{îg. 101)
j Fx M"i + F'x a'ni' + F- X K'm- + . . .
1 nou& pouvons substituer, en vertu de la proposition précè-
^^^e, ta somme (lig. 102)
^^^K Pxiiii'+P'xU')i' + rxn'H"'+...
lt>6
TnÉORËME
prise enlre les mêmes limites, M et M^. Dans cette seconde somme, P, F, P,... sont les composantes lingaitielles des forces F, F', F'',.*- prises avec les signes que nous avons définis.
Construisons (fig. 103) une courbe dont les abscisses 0^ 0^.',..., Oix^ soient respectivement égales aux arcs de la trajectoire AM, AM',...y AMj, comptés à partir d'un point fixe A, cl dont les ordonnées correspondantes i&cr, |jlV,..., ix^o^, soient égales aux composantes tangentielles MP, MT',..., M^P^ des forces successives F, F^..., F^. L'aire de cette courbe est la limite de la somme
dont les termes sont égaux respectivement à
PXMM', P'XM'M», P'XM'M*»,*..
et par suite Taire de la courbe, comprise entre les ordonnées [uay (jL^cr^, est égale au travail total cherché. Nous avons, eo effet, pour mesure de cette aire l'intégrale définie
0 [L yi' \L' vit" Fit:. 10'>.
8^ et s^ désignant les limites 0[x, Oja^, de l'intégration. 11 est facile de reconnaître que cette égalité est générale, pounu qu'on observe les conventions relatives aux signes des composantes P et des arcs ds.
Si la force F était en tous points normale à la trajectoire, les composantes tangentielles P seraient constamment nulles, et le travail total serait égal à zéro.
110. Lorsqu'un point est en équilibre, on appelle travail virtuel d'une force appliquée à ce point le travail élémentaire de cette force pour un déplacement infiniment petit, attribué ilctiveinent au point. Le théorème du travail virtuel consiste dans l'énoncé suivant : Pour quun système matériel quel-
DIT TIUVAir. VIRTUEL. )07
eonqae soit en équilibre, il faut et U suffit que la somme des traro'ix virtuels de toutes tes forces, intérieures et extérieures, ifui snllieitent ce système, soit égale à zéro, pour tous les déplacemeiits infiniment petits qu'on peut lui attribuer.
Les lois de l'ëquiLibre que nous avons établies dans les chapitres prùcédeuts sont loulcs comprises dans cet énoncé. Il faul, avant de démontrer le théorème, poser plusieurs Icmmes préliminaires.
raAVAIL ÉLÉMEKTAUtB DE LA RÉSULTAtiTE DE PLLSIEUIIS FOnCES.
Ml. Le travail élémentaire de la résultante H de plusieurs forces F, F', F",... qui sollicitent un même point matériel M, est ta somme ali/ébrique des travaux élémentaires coirespondants h ihatpte composante considérée seule.
Projetons toutes les forces F, F', F",... sur la direction du déplacement infiniment petit, MM', du point mobile, et soient P, P', P",... les composantes tangentielles de ces forces prises avec leurs signes. La somme algébrique des travaux élémentaires des forces sera (g 1 07}
PxilJi'+P'xMa'+P"xilii'+...,
(p+r'+i"...]xiiii'.
Mais la somme algébrique ? + ?' + ?"+... des projections des forces F, F', F",... sur la direction MM', est égale en grandeup et en signe à la projection de leur résultante R; le produit obtenu est donc égal au produit de la composante tangoiti^f^ de la force It, prise avec son signe, par le déplacement MM', c'est-à-dire au travail élémentaire de la force R.
112. On démontrerait d'une manière analogue que, si l'on décompose, d'une manière quelconque, l'élément M.U' de chemin décrit en plusieurs éléments composants, le travail élémentaire if une force It est la somme algébrique det travaux élémentaires
1C8 TRAVAIL DE U B&SULTAKTE
de cette force correspondants à chacun de ces iiplacemenls^ eonsidéri seul.
Cette proposition rentre même dans la précédente* car odleci n*est autre chose qu'un théorème de géométrie pure ; or rien n'empôclie de prendre la droite finie qui représente la force pour le déplacement imprimé au point mobile, et la droite finie Wli' pour représenter la force. La proposition précédente devient alors apphcable, et la nouvelle proposition s'en déduit en restituant aux divers facteurs leur véritable signification.
113. Plus généralement, si Ton décompose la force R, qui sollicite le point matériel, en un certain nombre de composantes, F, F', F",... et le chemin élémentaire décrit, BIM', en un certain nombre de chemins composants, ck, ds\ J^,..., le travail élémentaire de la force R est la somme algébrique de tous les travaux élémentaires que Ton obtient en combinant successivement chacune des forces F, F', F'',..., avec chacun des chemins composants c/s, ds\ ck*,...
Supposons que le point mobile M soit rapporté à trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ.
Décomposons la force R qui lui est appliquée, en trois composantes, X', Y', Z', parallèles aux axes. Soit MM' le déplacement infiniment petit imprimé au point; décomposons-le de mi^ine en trois déplacements parallèles aux axes, Mn, nm, mM'.
Le travail élémentaire de la force R pourra s'obtenir en considérant successivement les neuf combinaisons ^' suivantes :
X' cl Nn, X' et itm, X' et mM', -
r ^' €t Un, V et ftm, Y' et mW,
V et ll/i, V et ftm, V et mYi',
et en faisant la somme algébrique des ^^^' ^^' travaux correspondants. Mais le dé-
placement M?i est perpendiculaire à la fois aux forces Y'etZ'; le déplacement nm est perpendiculaire aux forces X' et l'\ enfin le déplacement mW est perpendiculaire aux forces X' et ï'. Les
tll
DE PLUSlEUnS FORCES. \6Ù
travaux corresponJants sont donc nuls, el des neul' comltinaisons indiquées, sii peuvent i^lre supprimées. On n'a plus à considérer que les trois combinaisons
