THÉORÈME DU TRAVAIL TIRTUEL

quels que soient les déplacements projetéSi ZXj 8y, 1%^ pourra qu'ils satisfassent à PÀjuation de la surface, c'est-à-dire i h relation i

Entre ces équations, nous pouvons éliminer Tun des déplacements, iz par exemple, ce qui donnera

Cette équation doit être vraie quels que soient &c et ^, el| par suite, elle se décompose en deux autres :

On a donc la suite de rapports égaux :

r/? "" dj df ' dx dy dz

Ces conditions nous étaient déjà connues (g 80).

117. Prenons encore un point M assujetti à glisser sans frottement sur une ligne fixe, L. On répétera les mêmes raisonnements, et on arrivera à la même conclusion. La condition nécessaire et suffisante pour Véquilibre est que la somm des travaux élémentaires des forces données soit nulle pour la déplacements compatibles avec la liaison^ c*est-à-dire ici, jMwr un déplacement infiniment petite donné au point le long de k ligne L.

On exprime par cette condition que les forces données ont une résultante normale à cette ligne; la réaction de la ligne est égale et contraire à la résultante.

Analytiquemcnt , la condition d'équilibre s'exprime par Téquation

XJz4-Yôj/4-z^s=0,

POCR tIS POINT UATÉRIEL UNIQUE. 175

condition de compatibilité avec les liaisons, par les èqualioDs dirfèrenliclles

Entre ces trois équations, on pourra éliminer les rapports ^ , ï- , el l'équation finale sera l'équation chcrcliée (§ 83).

118. Les trois Énoncés parliculiers que nous venons de donner sont tous compris dans cet énoncé générul :

Pour (/u'im point matériel assujetti à certuiiies liaisons soit eit équilibre, il faut et H suffit que la somme des travaux élémentaires des forces données qui le sollicitent, soit égale à zéro pour louX déplacement compatible avec les liaisons.

Les liaisons dont il est ici question, équivalent 6 des égalités, et s'expriment analytiquement par des équations; dire, par exemple, qu'un point est assujelli à glisser sur une spitère fixe, c'est dire que la dislance de ce point au centre de la sphère est constante et égale à son rayon. Nous avons \u qu'il y a des liaisons d'un autre genre; ce sont celles qui équivalent à des inégalités : telle est la condition, pour un point matériel, d'être toujours à l'intérieur d'une sphère donnée; on la traduirait analytiquement en exprimant que sa distance au centre de la sphôre est au plus égile au rayon. On peut d'ailleurs la réaliser matériellement en reliant le point matériel a» centre par un fil inextensible égal au rajon de la sphère. Dans ce cas, ou bien le point est comme libre dans l'intérieur de la sphère, et alors la condition nécessaire et suffisante pour son équilibre est que la somme des travaux des forces données soit égale à zéro pourtous les déplacements qu'on peut lui attribuer; ou bien le point est sur la surface, et son équilibre suppose l'intervention de la tension du fil, laquelle est normale et dirigée vers l'intérieur. Parmi les déplacements virtuels qu'on peut donner au point, les uns sont dirigés le long de la surface : pour