RÈGLE

Considérons une force appliquée au point M dans la direc-

d¥ dF

tion HA el égale à ^ ; le produit -j- dr est le travail de cette

dF force quand le point M passe de M en M'. De même -rpin' ^\

dF le travail élémentaire d'une force égale à ^ , appliquée ao

point M, et dirigée de M vers B ; chaque terme de l'équation (2) représente ainsi le travail élémentaire d'une force égale à Tune des dérivées partielles de la fonction F, et cette équation, indiquant que la somme des travaux élémentaires de toutes ces forces est nulle, montre en même temps qu'elles se font équilibre sur un point assujetti à la liaison (1). Donc leur résultante est ou nulle, ou normale à la surfaceS.

On construira donc la résultante des forces -r • -ot -r^i •••9

dr dr if^

respectivement portées sur les rayons MA, MB, MC, ...; etit

le polygone des forces ne se ferme pas de lui-mime j la résultante

qui le fermera sera la direction de la normale cherchée.

Tel est renoncé de la règle connue en géométrie sous le nom de règle de Tschirnhausen. Elle s*applique aussi bien aux lignes dans le plan qu'aux surfaces dans l'espace. Elle subsiste encore quand on remplace quelques-uns des points A par des surfaces (par des lignes dans le plan), auxquelles le rayoo correspondant, MA, soit assujetti à rester normal.

Exemples. — 1* Ellipse.

L'équation bipolaire de Tellipse rapportée à ses foyers est

La fonction F est ici r + r'— 2fl.

Prenons donc sur BIA = r une longueur arbitraire BlGt ^t

DE TSCH1RMAUSEN. 17g

8«r MB = r' une longueur MD = MC; achevons le losange HCED. La diagonale ME, bissectrice de l'angle A.MB, est la normale clicrcliée,

2* Section conitiue rapportée à un foyer B et à une direc- Irice CD.

Soit

MA = r, ICD = r'.

L'équation du lieu est

r = Kr'.

Oooc

Sur le rayon MA prenons une longueur arbitraire ME; puis sur le prolongement de MB prenons

KHExK; achevons le parallélole, et menons la diagonale MG; a la normale cherchée.

Si l'on prend ME^MB, on aura

IIF=)IBxK = lIA.

Nous avons vu en cinématique (g 85) que la tangente au lieu s'obtenait en joignant le point M au point T, intersec- "'* ""

lign de lu directrice avec la perpendiculaire ItT élevée au point B sur le rayon MB. L'angle GMT est donc droit. 5° Ueu géométrique représente' par Véquation

r — Kr-^O,

rapporté à deux pOles A et B.

Prenons sur le prolongement de MA une longueur HC := MB,

RÈ6LB

et sur le côté MB une longueur llD=MBxK=MÂ; achevons le parallélogramme OIDE. La diagonale HE est la normale au lieu des points M.

On remarquera que le triangle MDE a Tangle 1U)E=A1IB, que le cdtë DE = MG = HB, qu'enfin DM=ÂM.

Ce triangle est donc égal au triangle AHB, et rangle EMD est égal k Tanglc MAB. 11 en résulte que les deux triangles OMA, 0MB, sont semblables, car ils ont un angle commun 0, et l'angle BMO égal à MAO. On a donc la série de rapports ég^ux :

Fig. 111.

Donc