OB AO
équation qui montre que le point 0 est fixe sur la direction AB, et que, par suite, le lieu des points M est une circonférence (I, § 84).
4* Lieu géométrique des points M tels, quen faisant MA=r, MB = r', et appelant /*, /', h des quantités constantes, on ait
On peut simplifier cette équation
en rapportant les distances du
point M à des circonférences fixes
décrites autour des pôles A et B
Fig. 112. comme centres.
Chassons les dénominateurs, puis divisons par h;
rr' — /r' — t» =0 n n
DB TSCHUiKUAUSEIt. m
Ajoutant de part et d'autre '^ < il vient
Des points A et B, comme centres, avec des rayons AC ^ r , BD ^ r; . décrivons des cercles qui coupent on C et D les rayons vecteurs; l'équalîon du lieu sera
BCxll[» = ^ = ACxfiD,
OU bien
en appelant p et f' tes dislances du point M aux circonrérenccs AC, BU.
Appliquant la règle de Tschirnliauscn à cette nouvelle équa- I Ikm, on aura
^^0D prendra donc sur MA une longueur ME = MD, et sur MB nne longueur MK^MC, el construisant le parallélogramme sur ces deux longueurs, on aura la normale MN.
UCATIOK DH TUËORËHE DU TRAVAIL VirTUEL A LA nÉSOLLTlON DE CCBTAITieg QUESTIONS DE HlMMDll.
130. Soient (Gg. 113) A et B deux points lixes, et CD une droite qui les laisse de difTâreals côtés de sa direction. La figure est supposée plane.
Oo propose de trouver sur la droite CD un point H tel qu'enjoignant MA, MB, la somme
ÏAxa + ÏUxi
soit minimum, n et 6 étant des nombres donnés. Supposons te problème résolu et soit H le point cherché.
18S APPUCAnOMS AUI PR0BIÈ1IB8
Prenons un point M' infiniment voisin du point If. La fonction MA X a + MB X fr passant par un minimum an point M, la
difTérence
[M'Axa-»-M'Bx6J-[IUxa+lBx>J
est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Nous pourrons donc poser, en négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres plus élevés,
(M'A - MA) X m- (M'B - MB)X * » 0.
Projetons le point H' en a sur le rayon HA et en p sur le
rayon MB; nous aurons, avec la même approximation,
M'A-MAi-Aa— MA=— M«, M'B— MB = B^.MB =+M^
La condition du minimum s'exprime donc par Téquation
Fig.m. M.xa-H/lx*=xO
Sous celle forme, on reconnaît qu'elle exprime l'équilibre de deux forces égales respectivement à a et à b^ appliquées à un point M assujetti à glisser sans frottement sur la ligne CD, et dirigées Tune suivant MA, l'autre suivant MB; car flXMa est le travail élémentaire de la force a, et — ftxM? est le travail élémentaire de la force b. L'équilibre existant, la résultante des forces aeib est normale à la droite CD (g 117). Telle est la condition géométrique du minimum.
Au point M menons la normale NN' à la droite CD, et soient ? et 9' les angles AMN, BMN' formés par les rayons MA, HB avec les parties MN et MN' de la normale. L'équilibre des forces aetb pourra s'exprimer par Téquation
car cette équation montre que les forces a et fr se détruisent en projection sur la droite CD ; leur résultante se réduit donc à la différence, a cos 9 — fr cos /, de leurs composantes normales.-
DE UIHIVUH on DE UaUlDJI. 1
La condition du minimum s'exprime ainsi par l'ëquatton
Pour déterminer la position tlu point M , projetons A et fi en A' et B', sur la droite CD, et faisons AA'^m, BB' = n, B'A'=p, quantités connues. Posons de pliiaB'M=x; on en déduit MA'=:/) — x. On a d'ailleurs
L'équation dont on devra tirer x est donc
Elle est du quatriiïmc dcgr6, mais elle a nécessairement une racine réelle el une seule, comprise entre 0 rt p : c'est celle qui répond h la question.
On remarquera l'analogie du résultat obtenu avec les lois de la réfraction de la lumière : l'équation
!"iS7~6
exprime la constance du rapport entre le sinus de Vatujie de réfraction et le sinus de Vanijle d'uieidence, pour un rayon lumineux qui irait du point A au point B en traversant deux milieux dilTérents, sépari'S par la surface CD. La signification de ce rapport e:>t d'ailleurs difTéronto, suivant qu'un adopte la théorie de Newton, ou celle de Iluygens et de Frcsnel.
Nous retrouverons l'application du même principe dans la dynamique du point, dans l'iquilibre des ligues funiculaires, etc.
121. Nous allons démontrer qu'inversement le problème île l'équilibre d'un point unique, assujelti à gltiser sans frottement sur MM surface fixe, ou sur une courbe fixe, peut se ramener, en
184 APPLICATIOMS AUI PR0BLË1E8
général, à la solution éCun problème de minimum au de maximum *
Supposons d'abord qu'il s'agisse d*un point glissant sor une surface.
Les équations d'équilibre sont, en appelant X, T« Z, les sommes des composantes des forces qu'on suppose exprimées en fonction des coordonnées x» y, % du point mobile, et en représentant par F = 0 l'équation de la surface donnée,
F = 0 et Idx + Yay+Zls = 0.
Si XSx + YSy -f- Hz est la difTérentielle exacte d'une fimction f de x, y, %, ou si la multiplication par un facteur convenable rend cette fonction une différentielle exacte, la condition d'équilibre exprime qu'au point cherché l'intégrale de cette difTérentielle est maxiomm ou minimum, sauf certains cas exceptionnels.
Lorsque X3x + YSy + Zi% n'est pas une différentielle exacte, et ne peut le devenir par la multiplication, on peut remplacer dans cette fonction z et iz par leurs valeurs en x , |, 8x, ly, déduites de Téquation F=:0; la condition d'équilibre est alors ramenée à une équation de la forme X^8x -{-T^Sy =0, qui ne contient plus que deux variables, et qu'on peut toujours intégrer en la multipliant par un facteur convenablement choisi. La condition d'équilibre revient donc encore i exprimer qu'une certaine fonction 9 des variables x et y est, sauf exceptions, minimum ou maximum au point cherché.
Quand le point est assujetti à glisser sur une courbe, il peut se faire encore que \lx + Yly + Hz soit une différentielle exacte, ou le devienne quand on la multiplie par un facteurX; et alors la fonclion ç=:/X(Xîx-l-Yîy-f-Z&5) passe généralement par un maximum ou un minimum pour la position d'équilibre. S'il en est autrement, on pourra toujours, au moyen des deux équalions de la courbe, F=0, F,=0, exprimer y ei 2 en fonction de x, et ramener la fonction Xîx -f- Yly •+- Hz à ne contenir qu'une seule variable x. La quadrature pourra alors s'effectuer, et la fonction ainsi obtenue
DE NIXIUUU 0» DE !I1MMI;H. 1S5
a gënéralemeat, lorsque le point sera dans sa position d'équilibre, par un maximum ou un minimum.
122. EiEspLE. — Equilibre d'un point matéviel M, assiijelti à gUsëer satis frottement sur la surface ellipsoidule iléfinie par réquation
et attiré vers le centre 0 de cette surface.
La force qui sollicite le point M étant dirigée vers le point 0, cous poiuTona représenter ses composantes par les produits
X=Vx,
V désignant une fonction quelconque de x, de y et de z. L'équation d'équilibre sera
Le premier membre n'est pas intégrable, sauf le cas où y est une fonction de j' -t-i/'-t-s", ou de la distance MO. S'il en est autrement, on rend la fonction inlégrable en la mullipliant par
ç ; elle devient alors xix -\~ yiy + sî;,
qui est la difTérentielle eiacte de
= (x*+i/' + i'). On en conclut que
les positions d'équilibre du point M correspondent aux maxima et aux minima de la fonction x'-i même, de la distance 0.V1.
Le calcul direct fait connaître ces positions. Éliminons Sa entre les équations
, ou, ce qui revient au
