CHAPITRE II
nUltaC DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN SYSTÈME MATÉRIEL
TUTAUX ÉLÊMEKTAIRE8 DB DEUX FORCES MUTCELLES.
K3. n est nécessaire, pour étendre à un système de points ■Mrieb le théorème du travail virtuel, qui n'est encore 'hmitré que pour un point isolé, de déterminer la somme ^Btraïaux élémentaires de deux forces mutuelles, F et F% ipies et contraires, sollicitant deux points matériels AetB. Im supposerons d*abord que ces forces soient attractives. iMosau point A un déplacement infiniment petit AA', iei même temps au point B, un défiMODent infiniment petit BB^ Proi*»sles points A' et B' en a et 6, sur l> toile AB. Le travail de la force F, ^Pfl^péc an point A, est égal au pro- '■itFxAa;le travail de la force F', appliquée au point B, otJcmêmeFxBfr, et dans l'état de la figure, ces deux tra- * sont positifs ; leur somme algébrique est donc égale à ÏX(iû+B6),oubienàFx(AB — at).
•fais les déplacements A A', BB' étant infiniment petits, la ^^teA'B'faii un angle infiniment petit avec la droite AB, et f»8uile (1, g 61) on a, à moins d'un infiniment petit du «cond ordre, A'B'= ab ; en définitive, le travail Fx(AB— ab) «t aussi égal à Fx(AB — A'B'), c'est-à-dire au produit de t force mutuelle qui tend à rapprocher les deux points A et B, fv la diminution de leur distance.
Fig. 115.
188 TIUYAUI ÈL&XKKTÂIRBS
Ce résultat est général, pourvu que l'on tienne compte des signes. Si F est la force mutuelle qui agit sur les deux pcHots A et B, r leur dislance AB, et r^=r+drj ce que devient h distancer après les déplacements virtuels imprimés aux points A et B, le travail élémentaiia^ des deux forces F a pour expression générale
Fx(r'-r)=Frfr,
pourvu qu'on prenne les forces F positivement si elles sont réfésivesj et négativement si elles sont attractives. Grâce à cette convention, on pourra dire que le travail des deux forces F eri égal au produit de leur valeur commune par la vai-taHm è^ subie par la distance de leurs points d'application.
Si les déplacements virtuels imprimés aux points AdB laissent sans altérai ion la distance de ces deux poinb, dr étant alors égal à zéro, le travail des forces mutaellei est nul.
124. On ne change pas le travail d'une force F, appliquée i un point A, en supposant que cette force soit appliquée oi Qi autre point B, pris sur sa direction, et in^'ariablement lié n premier. En cfTet, appliquons au point B deux forces égales et contraires F' et F'', toutes deux égales à la force F, et agissant dans la direction de la droite AB. Cette addition de deux forces
égales et contraires, appliquées en un même
point B, ne change rien à la somme des travaox
élémentaires de toutes les forces données ; car,
quel que soit le déplacement infiniment petit
qu^on imprime au point B, le travail correspoo*
dant de Tune des forces, F', est égal en valeur
k/ absolue, et de signe contraire, au travail deTao-
/ tre force F". L'ensemble des forces F, F', P donne
^^ donc une somme de travaux égale au travail de
ig. 116. j^ j^j.^g p pj,jgg seule. Mais les forces F et P
prises ensemble ont, en vertu du théorème précédent, un travail égal au produit de la force F par la varialion de la dislance AB, et, comme nous supposons cette distance con-
DE DEGX FORCES MVTIELLES. ISB
Il somme des travaux de ces deux forces est nulle; il
iBb donc le travail de la force F', 6gal au travail de la force F.
1î5.Lp travail élémentaire lie deux forces parallèles F et F',
Ifpbquées à deux points A et 6, iiivariaMemeiit réunis l'un ù
finlre, est égal au travail de leur résultante R.
Eaeffcr, la distance AB restant constante, la somme des tnnst des forces F et F' n'est pas altérée quand on introduit au aouvelles forces /'et f, égules et contraires, et agîssafil èttb dîreclion AB. Les deux lorces /et F se composent en ■t seule force G, dont le travail est la somme des travaux des 4(U composantes (g 11]) ; de même, le travail de la force G' olb wmme des travaux de ses composantes F' et f. On ne éuqc pas les travaux des forces G et ^
C M les supposant transportées au X/\
■ntQ, qui appartient h la fois à leurs tau directions, cl qu'on peut siippo- «r Mié invariablement au système éB points A et D (ê 124); les forces G ^ Il C. Iransporlées en II, se composent
seule force fl, qui est la résul- rie- <n-
forces F et F', cl dont le travail est la somme des es composantes; enlin, on n'altère pas ce travail en lant la force H du point II au point 1. En résumé, le € b lorce I\ est la somme algébrique des travaux des t f' ^'t fi c'est-à-dire la somme algébrique des et F', puisque les travaux feif se détruisent (g 123).
E M TBAÏAU. VIRTUEL POUB UN SYSTÈME S
