ÉQUATIONS
donnera aux projections les signes convenables, puis, on mut tipliera les projections par le chemin c, et on fera la somme.
Le résultat sera égal au produit de ipar la somme algébrique des proje^ lions des forces sur la droite AB;
le théorème du travail virtuel nous
apprend donc que lorsquun système '^ solide est en équUibre^ la somme algé-
brique des projections des forces 9ur une droite AB quelconqu est égale à zéro.
Faisons ensuite tourner d'un angle infiniment petit b le système solide autour d'une droite PQ ; le travail de chaque force correspondant à ce déplacement s'obtiendra (g 109)
en multipliant par a le moment de la fone
par rapport à Taxe PQ ; la. somme des tn-
.^. ▼aux élémentaires sera donc égale au prodmt
. j?. par a de la somme algébrique des moments;
or elle doit être nulle quel que soit a, en verto
du tiiéorème.Donc lorsqu'un système solide eâ
Fig. tw. en équilibre, la somme algâ^rique des momenti
des forces par rapport à une droite quelconqtie est égale à zéro.
11 reste à montrer que ces conditions, qui paraissent en
nombre infîni, se réduisent à six conditions distinctes.
Imprimons au système solide un déplacement arbitraire ' infiniment petit; nous savons (I, g 158) que tout déplacement élémentaire d'un système invariable est décomposabk en deux mouvements élémentaires, savoir une translatioo et une rotation autour d'un axe, et qu'on peut regarder cet axe comme passant par un point quelconque du système, en disposant de la translation en conséquence. La translation peut ensuite être décomposée en trois translations, et la rotation cil (rois rotations distinctes, en appliquant à chacun de ces mouvements la règle du parallélépipède. Cela étant, par un point 0 pris arbitrairement dans l'espace, menons trois aies reclangulaircs OX, OY, OZ; décomposons le déplacement élé- j mentaire imprimé au solide en une rotation infiniment petite
B'ÉOVIUBnE. J93
■ufbur d'un axe OA, passant pnr le point 0, rotation qui peut être représentée par la droite OA, et en une Iranslalion inlinipient petite représcnlôe en grandeur et en direction par une ■ulrc droite, OB. Puis décomposons suivant les trois axes les deux droites OA et OB ; appelons p, q, r les trois composantes de la rotation OA, et ^, %, ^ les trois composantes ie la translation OB, Pour trouver le travail d'une Torce ^2 115) on peut décomposer comme on voudra telle force ■ et le cliemin décrit par son point d'application. Le chemin décrit par un point quelconque M du corps est la résultante des trois Idéplacomenis ^, ij, !;, parallèles aux 'axes, déplacements dus à la transla- /^^ |
IlioD et communs a tous les points du oJki
;Kolide, et des trois rotations, p, q, r, / v j / idu solide autour des mémos axes, v/ '
lltécomposons de même en trois com- j^j
posantes X, Y , Z les forces appliquées
nax divers points M. 1 1 restera à associer chacune des compo- [sanles à chacun des déplacements, puis à faire la somme des produits résultants.
p Relativement au déplacement Ç, les forces Y et Z, perpendiculaires à ce déplaccmcnl, ne donnent rien, et le travail se . ciluil it 3^;; la somme dfs travaux eera ilonc exprimée par
' ou bien par
I lS,+ ï. + X, + ...+ï.){=iH.
{somme étendue à toutes les composantes parallèles h •■ Taxe OX.
De même, le déplacement i] donnera une somme de U'avuux (gale à
' lï, + ï,+ ¥j-J-...4-Y,)., = ,;SI.
et le déplacement C une somme égale h
;z, + z, +Zi+...+z»iç=ç;z.
191 ÊODATIORS
Les déplacements angulaires f). o, r donnent lieu chacun à une somme de travaux égale k la somme des produits par ;i, (/,r des moments des forces par rapport aux axes (§ lié). Appelons
Lii I^ <•• loif M|, Vf, . . . lUf
M|» ^tt • • • Kl,
les moments des forces données par rapport aux trois axes; les sommes des travaux correspondants seront :
(Lf + Lt + • • • 4- U) Xp =;*2L, (M|+llt+...+M«)Xç = (r2M, (Ni+ Ni + . . . + N«) X r = ttS.
Réunissant toutes ces sommes par voie d'addition algébrique, il vient, pour le total des travaux correspondants au déplacenient considéré,
ÇïX-f-iî2Y-h;SZ+;>2L-f çm4-rX!l=0,
somme que nous égalons à zéro, pour exprimer les conditions d'équilibre. Mais le déplacement considéré est tout à fait arbitraire ; par conséquent nous pouvons attribuer aux coeflicicnts ;, r^, ;, p, 9, r telles valeurs que nous voulons, et pour que Tcquation résultante soit toujours satisfaite, quelles que soient les valeurs qu'on substitue aux arbitraires, il faut et il suflit que les facteurs qui multiplient ces arbitraires soient séparément nuls, c'est-à-dire qu'on ait les six équations :
SX = 0, XL = 0,
2Y=0, £ÎI = Û, Il = 0, 2N = 0.
Ce sont les équations que nous avions trouvées au g 87 en suivant une marche dilTcrenle.
