Deuxième cas. — Le corps solide a un point fixe

Imprimons au solide un déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons; ce déplacement consistera (1, g toi)

^^H D'ËOUILIDnB. lus

en une rolalion ïnnniment pelilc autour d'une droite OA passant par le point 0; la somme des Iruvaux des l'orces sera égale à la somme algébrique de leurs moments par rapport ù l'axe OA, multipliée par le déplacement angulaire du corps -, le ihêorcme du travail virtuel montre donc que la somme aUjdbrique des momenis des forces exlérienr es, par rapport à toute droite passaiU par le point 0, est égale à zéro.

Si l'on imprimait au corps un déplacement virtuel non compatible avec les liaisons, par exemple une rolalion infiniment ]»elite autour d'un axe ne passant pas pur le point 0, on obtiendrait un tliéorème analogue, mais il faudrait comprendre dans l'énoncé de ce théorème le moment de la réaction du point lise. L'adoplion de dcplacemenis compatibles avec les liaisons a eu général pour objet d'éliminer les réactions inconnues.

Par le point 0 menons trois axes rectangulaires, et décomposons la rotation autour de OA en trois rotations autour de chacun des axes. La somme des travaux élémentaires des forces sera égale a la somme algébrique des produils obtenus en multipliant respeclivemcnl les sommes des moments pris par rjpport aux axes, par les déplacements angulaires correspondants ; égalant à zéro la somme résultante, on aura l'équation générale de l'équilibre, équation qui se décomposera en trois autres, en tenant compte de l'indélerniinalton des arbitraires. En résumé, on retrouvera les trois équations d'équilibre (g 88), exprimant que les sommes des moments des forces par rapporta trois axes rectangulaires sont séparément nulles.

129. Troisième cas. — Le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Le seul déplacement compatible avec les liaisons sera une rotation infmimenl pelile autour de l'axe ; la somme des travaux des forces extérieures sera donc égale à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à l'axe, raullipliée par le déplacement angulaire, et l'application du théorème conduit ainsi à égaler à zéro la somme des momenls des forces par rapport à l'axe de rotation (g 89).

Ici encore, le choix du déplacement virtuel a pour consd-

ioe ÉQUIUBBB DUR 80UDI

quence d'éliminer les réactions inconnaes, c'est-à-dire les forces tenant lieu des liaisons.

1 30. Quatrième cas. — Le corps solide est assiqetli à glistcr sans frottement sur un plan fixe.

1* Si le contact du corps et du plan est établi par an point unique, les déplacements virtuek compatibles a^ec lealiaisflBi pourront consister en une translation parallèle au plan ei sa une rotation autour d*un axe mené par le point. Ces moniements sont décomposables, le premier en deux translation! parallèles à deux axes rectangulaires tracés dans le plan fin par le point de contact, le second en trois rotations, dont den autour de ces deux mêmes axes, et la troisième autour de là no^ maie au plan. Les conditions d'équilibre sont donc annomkt de cinq, savoir : deux équations exprimant que la somme algébrique des forces projetées sur chacun des axes tracés dans b plan est nulle ; et trois équations exprimant que la somma d> gébrique des moments par raj^rt à chacun des trois axes éâ aussi nulle (§91,1*).

Le corps peut être simplement posé sur le plan; on poona admettre comme compatible avec les liaisons un déplaoemotf parallèle à la normale au plan, mais dirigé dans un sens ps^ ticulicr. A ce déplacement correspond un travail positif de h réaction du plan, et ce travail, ajouté aux travaux des autres forces, doit donner zéro pour somme. On doit donc joindre une condition aux cinq que nous avons déjà posées : h somme des travaux correspondants à un déplacemait da corps parallèle à la normale, dans le sens où ce déplacement est admissible, doit être négative; en d'autres termes b somme des projections sur la normale des forces extérieures qui tendent à appuyer le corps contre le plan, doit être plos grande en valeur absolue que la somme des projections contraires.

T Si le contact est établi par deux points, il n'y aura plus lieu de considérer que trois déplacements distincts, savoir : deux translations parallèles respectivement à deux axes rectangulaires tracés dans le plan, et deux rotations, Tune ao-

POSÉ Srn IN PLIN FISC, luT

(oBT dp la droite menée par les deux poinls de conlacl, l'autre ivloar de la normale au plan. De ia quatre conditions d'éqoiliki- : deux relatives aux sommes algébriques des forces profltes sur les deux ascs, et deux relatives à la somme des ■onenls [«ar rapport à la normale et à la droite qui joint les fônls d'appui. Ces quatre sommes devront élre nulles pour r<fiilibrc4g9l, 2*).

Si le corps est posé sur le plan, on pourra admettre tous les

éifbeemenis qui dèlaclient le corps de ^oa plan d'appui ; à ces

JépUrcnicnIs correspondront des travaux posiiifs des réac-

liufe normales, et par suite la somme des travaux des forces

tre négative. Soient A et D les deux points d'ap-

lons pour axes dans le plan tixe la droite Afi et une

perpendiculaire à AB; puis, pour troisième

t,b normale AD, menée par le point A. Les six dùj

■it!) ùlèmcntaires distincts auxquels

lamôic un déplacement virtuel quel-

; réduisent à trois translations

à AB, à AC et à AD. et i trois

autour des mômes droites ; les

premières translations sont possi-

Vn i»as les deux sens, et la somme ^'^ '*--

lUx correspondants à chacune d'elles doit par consé- ;rc égale à zéro, La troisième n'est possible que dans particulier, et la présence du plan l'empêche en sens ire; la somme des travaux correspondants doit donc nulle nu négative. Des trois rotations, celles qui s'efiec- A autour de AB ou de AD sont possibles dans les deux sommes des moments des forces autour de ces axes nulles; tandis que la troisième, autour de AC, n'est |ue dans un sens unique, celui qui détache le corps u point B; la somme des moments des forces donrapport à l'axe AC doit donc être négative. H, s'il y a trois points d'appui non en ligne droite, on an corps deux translations parallèles au plan, ou n autour dune normale au plan, ce qui donnera

i08 TUËORËMB DU TAAYAIL TIRTUEL

Irois équations d*équilibrc ; de plus, on pourra admettre, si le corps est simplement posé, une translation normale au plan, et des rolalions autour de deux axes situés dans le plan, mais avec certaines restrictions : la translation devra s'opérer dans un sens délini ; les rotations ne pourront s'cfTcctuer que dans un sens particulier, et autour d'axesqui ne traversent pas lepolfgone formé en joignant les points d^appui. Car une rotation autour d'un axe qui laisserait les points d'appui de difTérents côtés de sa direction, tendrait à faire pénétrer le corps dans le plan en certains points, en même temps qu'elle tendrait à Tcn détacher en d'autres. Elle serait donc incompatible avec la nature des liaisons. En résumé, les conditions d'équilibre sont les suivantes : la somme des forces projetées sur deux axes reetangulaires tracés dans le plan, et la somme des moments par rapport à une normale au plan, doivent être séparément nulles; si Ton projette les forces sur la normale, la somme des projections qui tendent à appuyer le corps contre le plan doit être supérieure (en valeur absolue) à la somme des projections qui agissent en sens contraire; et si Ton prend les moments des forces par rapport à deux axes rectangulaires laissant chacun les points d'appui d'un même côté de leur direction, la somme des moments des forces qui tendent a appuyer le corps contre le plan doit élre plus giande en valeur absolue que la somme des moments des forces qui tendent à le faire tourner en sens opposé.

Nous retrouvons ainsi toutes les conditions établies précédemment par la mélhodc de la composition des forces.

TIIÉORÈME DU TRAVAIL VIHTUKL POUR UN SYSTÈME MATÉRKL

giELCO>'0UE.

131. Un système matériel peut toujours être considéré comme formé de points matériels libres, sollicités par des forces; nous avons vu (g 8) que ces forces peuvent être partagées eu deux grandes classes, savoir: les forces extéiîeurest

POUR DN SYSTEME lEATÉIlIEL. 1911

qui sont dirigées vers des points étrangers au système, et les farcft inlérieurex, forces muluelles qui s'exercepld'un point du système à un autre point. Les liaisons, quelles qu'elles soient, peuvent être remplacées par des forces équivalentes, et ces forces se partagent entre les deux classes que nous venons d'îndilluer; les unes sont des forces extérieures, telles que les réactions d'un point lixe, d'un axe fixe, d'une suiTace fixe, ... ; les autres, des forces intérieures muluelles, telles que la tension d'un fil ou d'une barre réunissant deux points du système l'un h l'autre. Si nous remplaçons les liaisons par des forces équivalentes, les points matériels qui forment le système pourront être considérés comme libres, et le thiurèrae du travail virtuel s'appliquera à l'équilibre de cbucuii d'eux. Quelque déplacement infiniment petit qu'on imprime à chaque point, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sollicitent ce point en particulier sera nulle, puisqu'il est en équilibre, et, par suite, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sont appliquées au sy^lémc, forces extérieures, forces intérieures, forces tenant lieu des liaisons, est aussi égale à zéro. Itéciproquemcnt, si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour tout déplacement du système, l'équilibre a lieu, Cai' les points èlani tous libres et indépendants les uns des autres, prenons pour déplacement virtuel le déplacement d'un point en particulier, et laissons lixes tous les autres points. La somme des tnitaux virtuels de toutes les forces se réduira à la somme des travaux des forces appliquées à ce point; cette somme élanl nulle, le point est en équilibre ig 115). Le même raisonnenicnt peut être fait pour un point quelconque : par conséquent, l'équilibre de toutes les parties du système est assuré si les conditions énoncées dans le théorème sont satisfailes.

132. Le théorème ainsi formulé est remarquable par sa génfralilè, mais il est sans usage dans les applications de la statique, tant qu'on n'en restreint pas l'énoncé par des conditions particulières, car il conduirait simplement à exprimer les con-

soi ÊQUIUBRS DUR STSTËU

ment petites du point N par lequel se touchent les deux sur* faces; on peut les regarder comme appartenant au plan langent commun mené aux deux surfaces par ce point ; ce pliQ fait un angle infiniment petit avec le plan tangent au point M^ . Il diffère infiniment peu d'un plan normal à la droite ÙV ; par suitCf la distance mm' est un infiniment petit du second ordre, et enfin la différence Mm' — Mm est égale àxéro, aux infiniment petits du second ordre près. La somme des travaux virtuels des forces R et R' est donc égale à zéro, et li proposition est vérifiée.

Si les surfaces S et &' exerçaient un frottement Tune sur Tantre, il n*cn serait plus de même, caria réaction mutuelle pourrait être oblique aux deux surfaces, et fournir un certaio travail.

Dans tous les cas que nous venons d'examiner, on n'aora pas à évaluer le travail virtuel des forces dues aux liaisons, si Ton imprime au système des déplacements qui soient compatibles avec ces liaisons, c'est-à-dire qui les laissent subsister pendant le déplacement.

134. Mais alors la démonstration de la réciproque du théorème général (g 151) d(»it être modifiée. Nous avons d'aboni élabli que hrsquun système matmel est en équilibre , la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui le sollicitent j pour un déplacement virtuel quelconque, est égale à zéro; celle proposition s'applique aux déplacements compatibles avec les liaisons comme à tous les autres, et nous venons de montrer que pour ceux-là en particulier le travail des forces dues aux liaisons est identiquement nul. Nous avons ensuite démontré la réciproque : si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre. Mais, pour cela, nous avons considéré des déplacements affectant un point unique du système, et laissant les autres immobiles. Cette bypolhèse suppose les points matériels libres et indépendants, et elle est contradictoire avec Texistence de liaisons que les déplacements imprimés au système doivent laisser subsister. Nous avons donc à démontrer pour ainsi

HATSRIEL a LIAISO^iS. sa.-;

iisruB nouveau thèorcme, qu'on peul énoncer comme il suil : fit tystème à liainons est en équilibre, lorsque la somme des rirluels rf« forces, soii exléneuies, soit inlériettres, qui kitlltàtenl, est Ajale & tiro pour tout déplacement compatible mit la liaisons.

La dômonstration csl facile en employant la réduclion à ftharJe. Supposons que la condilion soit remplie, et que le sjst^me matériel ne soit point en équilibre. L'équilibre n'existalpas, le système prendra un mouvemenl bien défini, lefnd sera n«.^ct.-5sairement compalible avec les liaisons; le prc- ■ier pas du système dans le mouvement qu'il va prendre ftal donc £lre regardé comme l'un des di^plucomenls virtuels mapris dans l'i-iiùncâ du lliéorème, et par suite la somme écï travaux des forces csl nulle pour ce dt-placement parlicufier. Mais nous pouvons empêcher le mouvemenl du système m. ippUquanI en ses divers points des farces convenables, ilirtfécs en sens contraire du mouvement qui tend à se produire. H jaura alors équilibre entre les l'orces primilivcmciil appH- |«èes su Evsli!-mc et les nouvelles forces qu'on vient d'y ajou- In soifitnfî des travaux de toutes ces forces est donc nulle, tt vertu de la proposition directe. Or la somme des travaux rinibrces primitives c&l nulle par hypollitise. La somme des IriTtiu des nouvelles forces est donc nulle aussi: ce qui est ÎBpo&sible, car chacune de ces forces, agissant en sens contraire du déplacement admis pour son point d'application, a on travail né'galif, et la somme de leurs travaux est aussi B^livc. L'hypothèse du mouvement conduisant ainsi à une dnUadiclion, le sysbime est en équilibre.

rS»&E ASALnigLE du TllÉOflLME DU tllAVAlL V

, Soient

204 VSiGE mUYTIQm

les coordonnées rectangulaires de n points. composant un sjitème à liaisons.

Les liaisons de ce système sont exprimtes par k équatioai

ft(*.f. *». • • )=<>•

f»i*. f. *• ; . . . .)— Oi

contenant les coordonnées dès points donnés.

Ces points sont» en oulrc, soumis chacun à des forces doanées, que l'on peut décomposer suivant les trois axes; cefrf donne les composantes X, Y, Z pour le point x» y, 2, les 00» posantes X', \\ II pour le point x', y', tI^ et ainsi de suite.

On demande les conditions d'équilibre.

Le théorème du travail virtuel nous apprend que cèsooiMfr lions sont toutes contenues dans Téquation générale

quels que soient les déplacements infiniment petits Sx, Sy , is,... pourvu qu'ils soient compatibles avec les liaisons, cest-à-diie pourvu qu'ils satisfassent aux équations (1).

On exprimera cette condition en difTérentiant les ï éqoitions (1), ce qui donne le groupe (3) :

l£l^x4-îÎ2.•^|/4-î!^l^»4-fei^;r'4. =0

^2* !. 'iri>.. !. ^ .V L- 'ht.^.

dx ^ dy ^ ^ dz ds'

Ces k équations contiennent les Zn variations Sx, Sy, ss,..*; elles permettent donc d'exprimer k variations en fonction des 5» — k autres, qui restent arbitraires. Substituant dansTéquation (2) les valeurs des k premières variations, on ramonera

Dli TllÉOBÈllE UU TniVAl!, ÏIftTlEL. !05

Inalion il ne coiilenir que les 3» — k varialions reset, comme elles sont arbitraires, on devra égaler séà zéro les Tonctions qui les inultipliinE- On obainsi 3» — ^'équations, qui ne contiennent plus rien fidiitnire, et qui seront les conditions d'équilibre des forces. Imt» aux * L-qualions {1 ), elles déterminent les 5h coordoniki&ei points mobiles.

I3A. La méthode suivante, indiquée parLagrange, a l'avan- !)•; de fjiri; connaître les forces qui tiennent lieu des iuSDDs, ou, comme on dit, les letjsions des lieim.

laltiplions la première des équations (3) par une tndéter- ■(kX,. ta seconde par une aulrc indéterminée X,, la ttot- ■taiepar une troisième indéterminée X,,... et ainsi de suite jaqa'à la dernière, qui sera multipliée par \. Ajoutons ■semhlr l'équation (3), et les k équations (5) ainsi mulliplijes. La somme nous donnera

On pourra disposer des /( arbitraires À„ X,,..., ï-i, de ma-

ièR^ réduire séparément à zéro tes coefficients de h \aric-

m particulières; on substituera ces valeurs diins les coelfi-

dcs Sri — k autres, et on devra les égaler à zéro pour

tsfnmer l'^uilibre : cela revient à égaler indislinclemcnt à

les cocfGcîcnts des 3n variations dans l'équation (4); on

aen conduit ainsi à poser les 5n équations :

Les équations d'équilibre s'obtiendront en tirant de k équc-

m DlTBBIlRAlIOll MS ffOMV

lions du groupe (5) les valeurs des k indèlenninécs X, et ai les substituant dans les Sn — k autres équations.

Or il est remarquable que les talears des X lassent amnaître les réactions des liaisons (i).

En effet, Téquation (4), oùles Sutarialkma te, Sy,... restent aiiiitraires, exprime Tëquilibre du système donné, dépooiDè de toutes liaisons, mais soumis aui forces dont les composantes sont respectivement

Cela posé, si Ion supprimait la première des liiisoas {l\ c'est-à-dire l'équation ri=0, on aurait à effacer dans 11 groupe (6) tous les termes contenant les dérivées de la Im tion 9p ou tous les termes multipliés par \. L'équilibie él. système serait alors détruit, car les composantes agissant si les points supposés libres ne seraient plus séparément nuBsi; mais on rétablirait l'équilibre en appliquant à uni point qnd* conque (x, y, %) une force dont les composantes X^, T^Z^i soient respectivement égales à

Zr^" 7^^'' •ST*"

donc celle force Xp Y^ Z^ est la réaction exercée sur le point Xy tjj %j par la liaison fi^O. Le même raisonnement s'applique à toutes les liaisons et à tous les points du systènie} de sorte qu'on peut dire d'une manière générale :

Une fois les k inconnues X déterminées de mamère à satisfmn à k équations du groupe (5), les trois ffodmU

x^Jl, >^', x^

représentent les trois composantes de la réaction exercée par k liaison 9<=0 sur le point (x^, y^, z^) daiis la position d'équSibre, On peut observer que celte force est normale à la surftce

TEÏUNT LIBD DES

Ù^ ^'^ ^ *' ^^ considérant dans la fondioii f, les ■™^^ ^> y>. ^ comme yariabl points comme constantes.

des

APPUC4TKHI A L*ÉQI7ILmuC DES HAOBIKES.

}f\ ^ "machines qu'on emploie dans l'industrie sont en P^^ies systèmes à liaisons eamflèUs {},% il! f.Vimr m ^^^me, il n'y a qu'un déplacement possible dans un seas •ta» le sens opposé. La condition d'équilibre de la mackine lŒpnroera en égalant à zéro la somme des tra^uxdes forces wepondanl à ce déplacement mfiniment petit. ™^ pour exemple une machine composée delà manière

Mite:

Bielige AB est destinée à pousser ou à tirer, le long de la wcfixeOA, le point B, extrémité de la bielleBC; le point C, ■wcxlrémilé de la bielle^ est articulé â U maniTelle OC, ■*le auiour de Tarbre tournant 0. Sur cet arbre tournant *iDODtée une roue d*engrenage M; elle engrène avec un pi-

Fis. 114.

poûm', monté sur l'arbre parallèle C^; le pignon mf fait

^a\ec la roue M', qui est centrée sur le même arbre. Celle

'^en^neavec le pignon wi^, monté sur un troisième arbre

pn\lèle(y. Le tambour K, concentrique au pignon m*, est

*iBiâlè a sa circonférence par une force tangente R ; son rayon

<s^è^\ a r. On demande quelle force F il but appli<pufr â U

%ftkço\iT tenir la force R en équilibre, ^v Von désigne par e le déplacement infiniment petit du

908 Apf uanox M)

point d'application B de la force F, et par if le d^dieement infiniment petit correspondant du poinl d'appUcatioal de la force R, et si Ton suppose qu'il n'y ait auenn frottement dans les articulalions et les engrenages» réqotfioa d'équilibre sera

la question est ramenée à un problème de dnématiqœ :

ttt>uver le rapport - des déplacements linéaires aimnllaaéi

des points K et B.

Nous pouvons prendre • pour mesure de la vitesse linèm du point B. La vitesse angulaire de l'arbre 0 sera égak i

TT. (I9 § 135), I étant le point de rencontre de la bielle CBa«e

une perpendiculaire 01 sur la droite OB; la vitesse angahin de Tarbre C est à celle de Tarbre 0 dans le rapport iaiMB des nombres de dents des deux roues M et m'; appelons Id m' ces nombres de dents; la vitesse angulaire de rarbia V

sera donc

celle de l'arbre 0' sera, par la même raison»

et par suite la vitesse £' du point K est

on a donc

et enfin

MM' r

F ^ R X — ; X --7 X TTî •

On remarquera qu'aux points morts 01 est nul, e( pirsoil' la force F est infinie; ce qui indique qu'il est impossible ^ k tenir en équilibre une force R tangente à la roue C, en eiD- lii-

k LËdUILIDHE DES NACIIl.NES. 300

ployant une Torce F dirigée suivant h longueur de la bielle, lorsque la manivelle est à l'un des points morts.

Nous avons fait abstraction du fiotlemcnt. Si l'on devait en tenir compte, il faudrait introduire dans l'équation les travaux des composantes langenlielies aux surfaces qui glissent les unes sur les autres. Mais ces composantes sont inconnues ; tout ce qu'on sait, c'est qu'elles sont au plus égales aux produits des réactions normales par le coefficient de frollement (g 09). Elles nedeviennenl égales à celle limilc supérieure que quand le glissement a elTcctivement lieu. Mais, même dans ce cas, elles restent encore inconnues, puisqu'elles ren- Terinent en facteur les réactions normales, que la méthode du travail virtuel a pour effet d'éliminer. Il faut alors traiter sipar&ment l'équilibre de chaque partie de la machine, ce qui met en évidence, comme forces exli^Ticures, les réactions mulucllcsdeces parties. Nous aurons l'occasion, dans le livre VI, de résoudre quelques questions de ce genre.

158. Le théorème du travail virtuel est comme un lien qui ratlaclie ensemble les diverses parties de la mécanique. Nous venons de voir qu'il introduit dans la statique des considéralions cinématiques qui, au premier abord, paraissent étrangères à la science de l'équilibre, et nous verrons plus tan! qu'il peut être regardé comme un corollaire du plus important des théorèmes de la dynamique, le iMoyème îles forces vives.

SlHILrrODE STATIQUE.

iô9. Considérons un système matériel en équilibre sous l'ac- '•«nde forces données; imaginons un second système matériel ^^métriquement semblable au premier. Nous entendons par '^ tfue le second système est déduit du premier en amplifiant "îins un rapport constant, «, les coordonnées de ses divei I*<^inls. S'il y a dans le premier système des liaisons exprima' "'es au moyen d'éijuations, des liaisons semblables existeront f^XiT le second ; elles seront exprimées par les mêmes équa-

ir

210 SIMILITUDK STATIQUB.

tions, dans lesquelles les paramètres linéaires seront multipliés par ce même coefficient a.

Supposons qu'on applique au second système, -en des points homologues, des forces parallèles et proportionnelles aui forces qui sollicitent le premier. L'équilibre aura encore lieu^ bien que le rapport, p, d'amplification des forces soit durèrent du rapport, a, d'amplification des dimensions linéaires.

Si par exemple le système donné est solide, l'équilibre est assuré par les six équations

x:x = o, ïY = 0, ÏZ=0, 2(Zy — Y5) = 0, HX» — Zx) = 0, 2(Yx — Xy) = 0.

Or CCS six équations seront encore vérifiées pour le second syslème, quand on aura remplacé x, y, % par ox, oy, aa, et X, Y, Z par &X, pY, ^Z.

Plus généralement, l'équilibre s'exprime en égalant & léro une somme de termes de la forme XSjb ; si cette somme s'annule pour certaines valeurs des forces X et des déplacements ex, elle s'annulera aussi quand les valeurs des forces X seront multipliées par un même nombre P, et quand les valeurs des dimensions linéaires &r seront multipliées par un même nombre a.

L'existence de forces de frottement parmi les forces données ne détruit pas la similitude, pourvu que le coefficient de frottement des parties en contact soit conservé d'un systènnei l'autre. Le t'rotlcment dépend en eiTet de l'angle que iaitla réaction mutuelle avec la normale commune; or cet angle n'est pas altéré quand on multiplie les dimensions linéaires par a, ni quand on multiplie les forces par p.

Au contraire, la résistance au roulement, s'il y a lieu d'eo tenir compte, peut détruire la similitude ; elle dépend &i effet, comme nous le venons plus tard, d'une distance 3 entre le point de contact géométrique du corps roulant et le pointde passage de la réaction mutuelle ; cette distance doit être multipliée comme toutes les autres par et; cela exige en général une modification dans la nature des corps en présence.

CENTRE INSTiKTANà DE ROTATION.

AtTLICATIOS DU TIIEOFIÈSIE DU TRAVAIL TI[;TUEL A LA ClPiÉUATlOLE.

140. Nous allons monlrer quel parti on peut tirer du théorème du travail virtuel, et plus géiiLTalcmenl de la statique, )tour dt^iiiontrcr des propositions de cinématique. Ces déinonslralions sont toutes fondées sur la propriété d'une surface, ou d'une courbe gc'om6liique, d'exercer une action normale sur ua point assujetti h la parcourir.

CZRTftE IK!STAnTA^Ë DE ROTATIO» D C»E FIGURE FLAKE llOBn.E DAtiS BON PLAN.

141 . Soient A, B, M, trois points d'une figure plane mobile dans son plan. Soient AA' la trajectoire du point A et Bfi' la IrajfCloirc du [loinl B.

Nous supposerons que la figure est guidée dans son mouvement par des lignes directrices A.4', ISB', sur IcsquL'lles les points A et B sont assujettis à gliàscr sans fio'tcmont, ce qui suflll pour faire de la figure un système à liaisons complûtes. Le point M di-critune certaine trajectoire MM', et si on lui applique une force ¥ normale à cette Irajccloire, la figure sera en équilibre, tar la somme des travaux de la force F et des réactions N et N' des lignes directrices est nulle, puis- ^'^ '^'

que les réactions N et N' des lignes directrices sont normales â ces lignes, et qu'il en est de même de la force T, par rappoi t il b trajectoire deson point d'application M.

Les trois forces F, ¥' et N se l'ont par conséquent équilibre; leurs directions passent donc par un même point 0 ; en d'autres termes, le» normales menées au même inslanl aux Ivajec- '*"■«(/« diverspoinlsde la figure concourent en uiimêméiwint, ^Ire itMlanîané autour duquella figure pivote (1, g 131).

SIS IPPLiaTlON DE U STànQUI

THÉORÈMES SUR LE NOUVClfENT ÊLÉtfEKTAlRB D*II2I SOUDE.

142. Les liaisons auxquelles le corps solide est assujeUi s'expriment par des équations où entrent les coordonnées d'un certain nombre de points particuliers du système, que nous appellerons points dirigés ; nous commencerons par chercher le nombre N de ces points, suivant la nature des liaisons, et suivant le degré de liberté qu'on veut laisser au systàne mobile.

Supposons d'abord que N soit égal ou supérieur à 3.

Parmi les N points dirigés, nous admettrons qull en y ail f qui restent fixes, l qui soient assujettis à glisser sur des lignes fixes, et s qui soient assujettis à glisser sur des surfaces, ces points, lignes et surfaces fixes étant d'ailleurs entièrement arbitraires. Nous aurons la première équation

Les coordonnées des N points sont au nombre de 3N, et nous savons qu*entre ces coordonnées il y a 5N — 6 relations distinctes, exprimant que les distances mutuelles de trois points, et les distances de chacun des N — 5 autres aux trois premiers sont constantes (I, § 122). Les liaisons intérieures du SYstùmc nous donnent donc d abord 3N — 6 équations. Cette formule suppose N^ou > 5.

Les f points fixes sont définis par Zf équations, qui font connaître leurs 3/* coordonnées.

Les coordonnées des / points mobiles sur des lignes sont assujetties à satisfaire à 2/ équations, chaque ligne étant représentée aualytiquemenl par deux équations.

Enfin, les coordonnées des s points mobiles sur des surfaces satisfont aux s équations de ces surfaces.

Les liaisons extérieures donnent donc 3/*-+- 2/ -f- « équations; réunissant toutes les équations de condition, on a, entre les

A LA CniÊMAnOlIE. ff 3

3N coordonnées des points considérés, un nombre d'équations égala

ou bien, en remplaçant /*+/+« par N,

Cela posé* si le nombre de ces équations, supposées dis^ tSmdes^ est égal au nombre des coordonnées, le système reste fiie, car les coordonnées de chaque point ont alors des valeurs coBslantes définies par ce système d'équations.

Si le nombre des équations est inférieur d'une unilé au lombre des coordonnées , Tune des coordonnées reste arbitraire, et toutes les autres peuvent s'eiprimer en fonction de cdle-là; tous les points du solide sont donc assujettis, par les fiaisons* à décrire des lignes.

Si enfin le nombre des équations est inférieur de deux unités au nombre des coordonnées, deux coordonnées restent arbitraires, et, par suite, à partir de chaque position du système, on peut le déplacer dans une inflnité de directions, chacun de ses points restant sur une surface, sauf certains points particuliers qui peuvent être encore assujettis à .décrire des lignes. Nous allons reprendre une à une ces diverses hypothèses.

1* Pour que le système soit fixe, il faut que Ton ait

00 bien

Les solutions de cette équation sont les suivantes :

r=ii.

(fl

114 àppuanos III u svâmm

2* Pour que les points da sjstèoié dècriteiil châeoii dn lignes, il faut que Ton ait

ou bien

ce qui donne successivement :

Is4, f=9, 1=1,

3* Pour que les points soient assujettis à décrire éâ 8a^ faces, il faut que

4N— s+V+i»ni— 1^

ou bien que

ii»4-v.i;

ce qui donne seulement les deux solutions :

(M) W = 4. /=r^ l«0, «er4.

(iî) H = 5, ^=0. l-i. t=S.

Jusqu'ici nous avons exclu Thypothèse N < 3. Examinons successivement les cas particuliers de N=2 et N = l.

(13) SiN=2, les points du système sont assujettis à décrire des lignes quand les deux points dirigés restent Gxes; le système a alors un mouvement de rotation autour de Ym qui joint ces deux points.

(14) Les points du système sont assujettis à se mouvoirsor des surraces, quand les points dirigés glissent le long de ta droite qui les joint.

(15) SiN=l, les points du système sont assujettis i décrire des sphères autour du point dirigé comme centre i quand ce point reste fixe.

143. Appliquons la statique à chacune de ces quinie h]fpothèses.

Dans les six premières, le solide est fixe; une force api^

^^^H A Li CISEUATIQUE. SIS

(oée i un point quelconque du solide, dans une direction [uelconque, est donc équilibrée par les réactions exercées larles points dirigés.

Dans le cas (1), les réactions sont normales aux six suriccs directrices, qui sont arbitraires ; donc une force qtiekonne e$t, en général, décomposable suivant six directions ilon- }ée».

Dans le cas (2), l'une des réactions, celle de la ligne, est ooienue dans le plan normal â cette ligne; donc une force ueiconijue est, en général, décomposable en cing composantes, '(ml quatre aient des ilireetions données, et la cinquième passe er Nil point donné et soit contenue dans unp!an donné.

Dans le cas (5), l'une des réactions, celle du point fixe, passe »r ce point ; une force quelconque est donc décomposable en uatre forces, dont l'une passe eu un point donné, et les trois utres aient des directions données.

Le cas (4) nous montre de même qu'une force quelconque est '/eomposable en quatre forces, dont deux aient des directions 'oiuiéfs, et les deux autres passent par des points donnés et iiei}t contenues dans des plans donnés.

Les cas (5) et |6) font voir qu'une force quelconque est décomiuiabken trois forces, dont l'une ait une direction donnée, dont la tconde paxse par un point donné et soit contenue dans un plan

miné, et dont la troisième passe par un point donné; et qu'une (rrce ifiielconque est décomposatfle en trois forces, dont chacune »U(t par Mfi point donné et soit contenue dans un plan donne tonduit par ce point.

144. Dans les qwatre hypothèses (7) à (10), le système reste en équilibre sous l'action d'une force quelconque appliquée ■D un point M perpendiculairement a la ligne que décrirait « point dans le doplucemcnt du corps. Le septième cas mon- >*, par exemple, qu'une force quelconque, normale à la tra- ■cioire du point M, est décomposable en cinq forces normales aux cinq surfaces directrices.

145, Dans riiypotliése (II), le mouvement du solide est di- 'gè par le glissement de quatre points particuliers sur quatre

«s imjunoBMUtrâniR

surfaces fixes. Tous les pûafs déerirent don en gAiènl im surfaces, et l'équilibre a lieu si l'on ip^qne en on point h solide une force normale k la suriiee décrite par ce point Us cette considéralion on peut déduire le théorème snrrant, M & II. ManDheim *.

U» ^atrepowU A, B, C, 1> iTwt Mrpt toli^ atmt ownjitfi à Me mowûir sur de» turfaeet fixe» (a), (p), (f), (B) ; i le lira (fvn pont fuWeonfiKE Al «otidaMt al«nwi«ei imfMe dUemmie {«)• Conniénm UtmrmàUtkà!, W^iXT, DD*, EE' menée» à ce» émqmtrfiua pat UMfomÛantoeeÊfim 9^ multanément par les p^ A. B, C, D, E. I,ef d^n dnilv K et X', qui reneontreat lei ^latre premières «anwrfw, rwcwi lr«ronl oiun fa ctn^ui^iM.

Nous pouvons regarder les quatre surftoes données oonw des surfaces directrices matérielles sans frottement» et la de' qnième {■) ooaune h Usa .

géométrique du point E. h TCTta du théorème da tniii rirtuel, le système tara ■ équilibre dans la poaitîoa qn'tn lui attribue, si nmis lui appliquons, au point E, une fona normale à la surface (■) ; k forceFestalorsIenueenéqai- '' libreparlesréaclionsnonnaki

des surfaces données. Doncla somme des moments de la foraP et des quatre réactions est égale i zéro par rapport à un ub quelconque ; et si l'on prend pour axe la ligne X, ou li ligne )/, pour lesquelles les moments des réactions sont nnli, le moment de la force F sera Clément nul pour toutes dem. et par suite la direction EE' de cette force rencontre à ta M* les droites X et X'.

Connaissant les normales en A, B, C, D aui quatre surhos direclrices, on aura la normale à la surfece décrite par nu

' Journal 4t FÉeoU pd^ectmi^e, 1870.

A U Ci:yË)IAT[QDB. ItT

cinquième point K^ en menant par ce point une droite EC, qui renconlrc les deux droites À et X'.

On voit que, quel que soit le mouvement inlinîment petit imprimé au corps, il tourne à la fois autour des deux axes fixes >. et >.', qui se trouvent ainsi jouer le rôle d'axes de rotation conjugués |1, 2 157). Cliaque point de l'un des axes tournant seulement autour de l'anlre, décrit, dans le déplacement i'Icin enta ire, un élément de circonférence qui a son ccDlre surtaxe conjugué; de sorte que les points situés sur les droites \ et >.', ait lieu d'être assujcitis ù glisser sur des surfaces, comme les autres points du corps, sont assujettis à décrire, pendant un temps înliniment court, des éléments de trajectoire.

146. De l'hypothèse (iS) on déduirait, par la même méllrode, lu théorème suivant :

Le point A tTutt corps solide est assujetti à se mouvoir sur une ligne fixe (i), et les ileax points B et C d se mouvoir sur des tvifaces fixes (jï), {f ). Le lieu d'un i/uatriéme point D «1, en général, une surface déterminée {i). Si par le point A nous menons une droite rencontrant les deux normales aux surfaces (^) et (v), menées par les points B et C, cette droite rencontrera aussi ta normale à la surface (î), menée au point "O; et si l'on fait glisser une droite sur les normales aux trois surfaces (3), {-{), (S), t hgperboloide ainsi engendré coupera suivant une droite le plan normal P à la trajectoire (j), mené au point A. Cette droite représente la direction de la réaction de la Irgne(a).

Proposons-nous de construire la normale DD' à la surface (î) au point D (fig. 127).

Par le point A, menons la droite AM, rencontrant les deux droites Bli', CC, normales aux surfaces (3), (f). La normale VHy sera comprise dans le plan DAM.

On sait de plus que l'hyperboloîde engendré par une droite mobile glissant sur les trois droites I)D',BB', CC, coupe le plsti normal Psuivant une droite passant au point A. Le point D appartient à la surface de cet hyperbotoïdc. Parce point, menons Que droite DN rencontrant les directions BB', CC. La droite DN

lit tQuiuBRB nm sou»

sera tout entière eur la surface de rhypeAololde. Elle pem le plan PP en un point k\ qu'on joindra an pcunt A. La droite AA' aéra rinteraeclion de Thyperbololde atee le plan P, et an

par suite Fune des génèralit

ces redilignes de Phyperinh

loIde.On peut donc concemr

cette surbce comme engea-

drée par le glissement d'ua

droiteqnis'appuicFaitaurka

troi8directricesAA\BB',OI7.

n sutflt par conséquent,paar

^^' ^^' acheta la solution, de eaa-

siruire une troisième droite EF, rencontrant à la fois ces tiaii

directrices, puis de mener par le point D une droite DD^ fi

rencontre les deux droites AM et EP.

Dans les hypothèses (15), (14) et (iS), les normales au lieux décrits par les dÎTcrs points du corps sont immédial^ ment connues.

ÉQUU4BRE d'un SOUINS DOmr UN, DEUX OU TBOIS POQITS SORT iETTIS A GLISSER SANS FROTTEMEUT SUR URB SURFACE nXB.

147. Les résultats obtenus (§ 91) pour l'équilibre d^un soliia posé sur un plan peuvent être généralisés en remplaçant le plan par une surface quelconque.

I. Si le solide touche la surface en un point unique Q» il faut et il suffit pour l'équilibre que les forces appliquées il corps soient réductibles à une force unique, passant par k point 0, et normale à la surface.

II. Supposons que le solide touche la surface en deux poinb A et B. Les réactions (A) et (D) de la surface en ces points seront dirigées suivant les normales aux points A et B; et ces deux forces, dont les directions seules sont déterminées, doi* vent faire équilibre au système des forces données. 11 faatd il suffit par conséquent pour l'équilibre que les forces doo*

ClISSASI SUR USB SURFACE. 219

t réductibles à deux forces passanl p^r les points l normales piï ces points à la surface. ! cas parliciilier où les forces donnc-es ont une résulque, r, celle résullanle doit équilibrer les deux forces ); donc } deux directions (A) et (D) se rencontrent en un

force F passe au point 0 el est contenue dans le t.

les deus points A et B sont inlinimcnt rapprocbés, ni-nlaire AÎl, tracé sur la surface, appartient alors à ide courbure.

s cas géninal où les normales (A) et (B) ne se rencon- , Iransporlons toutes les forces données parallètemenl fîmes au point Aet composons-les; elles nous donne résultante de translation ^ couple rèsullant dont nous lerons l'axe par la droite

Transportons de même au a force S, réaction de la surloint B; nous aurons en A s S', égale et parallèle à S, Ire, un couple (S, — S}, dont ; levier est la distance AC du

la normale (B). la force S' se compose avec la force m de la surface au point A, en une force unique, qui jire la force R; donc

orce n est dans le plan dos deux forces F et S', c'eslle la résultante de translation et les normales (A) et larallélcs à un môme plan :

I, pour déterminer F et S, les équations

w Mmum viniiQiiiB

à SxAG, doit tenir m Aqailibre le eeople 6; per nik 3* L*axe du coaple résallant qo^on Abtlefll c& tnupiflal toutes les forces données an poiirt A est peipeadleidne m plan A(B) ; 4* L'intensité du couple résultent est égale A S X AG ; 5* Le sens du couple résultant est contraire an aeas Al estpie (S, — S).

ni. Supposons enfin que le corps tooj^ la aorlSMe en tnii points A, B, C. Appelons F, S, T les réacliona normales dsfc eurrace en ces points. Soit R la résultante de trandalisn h système des forces données ; soit 6 le conide réaoltanL têff' nèral, les trois normales (A), (B), (C) ne se renoontnat fÉ et ne sont pas parallèles à un même plan, point 0 quelconque sur la direction de la force B, et

par ce point trois aies A% V^(Tfk:

rallèles aux normales; pois Iniif portims les forces F, S, T paidHsment à elles-mêmes au pointO; donneront naissance à trois (F. -F), (S,-S), (T,-T) des plans 0(A), 0(B), 0(C). Mcomposons la force R suivant ki trois axes 0A% 0B% OC'; les posantes seront égales et traires aux réactions F, S, T. la ,2, couples (F, - F), (S, - S), (T. -1)

sont donc entièrement dètennioés»

et l'équilibre exige que le couple G soit égal et contraire i h rèsuHante de ces trois couples.

Examinons spécialement le cas où le couple 6 est nul; h force R , prise en sens contraire, doit alors être la résolliale des forces F, S , T. Prenons les moments de ces quatre foita par rapport à une droite rencontrant les trois normalo (i^i (B), (C). Les moments des forces F, S, T étant nab, le moment de la force R i*est aussi ; donc la direction R reacontre toute droite qui s'appuie à la fois sur les