GLISSANT SUR UME SURFACE

(A). (Bl, (C); en d'autres termes, R est une génératrice reclUigiic de rhyperltolotdc qui a les droites (A), (It), (C) pour directrices, et elle opparlicnt au mâme système de généra- Iricesque lesdroites (A), (B), {C).

Cette condition nécessaire est en général suffisanle. En «ffvl, supposons que la force R rencontre trois droites (m), (n), (j)|, qui s'appuient sur les directions des normales p. S, T. Les forces F, S, T el la force R ont une ré-

P liante de translation nulle. Donc le système ï. S, T, H réduit à un couple unique, et ce couple a un ino- JDenl nul par rapport aux trois droites (m), (n), Ip); le plan du couple est donc à h fois parallèle à ces trois droites, r^iillat impossible si le couple n'est pas nul, à moins que l'hyperboloide construit sur les trois directrices (A), (B), (C) ne soit en réalité un paraboloîde liyperbolique, ce qui suppose ces trois direclriccs parallèles à un même plan, I>ans ce dernier cas particulier, prenons pour le point 0 DD point du parabo'.oide construit sur les trois droites (A), (B), (C) ; les lorces F, S, T feront équilibre à la force R et a an couple G, parallèle à un des plans directeurs de la surhce. Les réactions F, S, T salisfont donc aux deux condillions suivantes : leur résultante de translation est égale et toolraire à R; le couple résultant du transport de ces forces au point 0 est parallèle au plan directeur, et égal et contraire au couple G.

IIEUAIIQUE EUn

j TnËOnËME DE STL'RU.

148. Considérons (fig. 130) sur une surface un point 0 \ quelconque ; par ce point menons la normale OZ, et les deux [plans rectangulaires ZOX, ZOY, des sections principales. Le [ plan ZUX coupe la surTacc suivant une courbe OA, dont le [centre de courbure est un point C pris sur la normale OZ; F le plan ZOÏ coupe la surface suivant une courbe OU, dont [ le ceutrc de courbure est en C, sur la même droite. Le lliéo-

rif.iao.

nriDitB DB snu

rème de Slurm dont notts toidoos piller, eomiile dt» renoncé suivant^:

J Le$ normalei à lu iwrfhceSemêiipcbitê mfmmeiU WÊkm dg ))Otfi( 0 retÊContrent U$ axe$ da eeriki MeKtoMn ie»

prmdfNiIei rfleliMt è e^iioiiitO, c' à-dire les droites CD, CIK, Aeièee |ÉI^ les points G et (7, perpendiaJainiMl^ au idans ZDX, ZOY.

Pour démontrer œ théorème par Itf considérations de statique» imegiamif qu'un système solide invariable repM^ sur la surface S par les trais peialsfl^ A, B, et qu'il soit sdlieité par unelHI^ - F, passant dans rintériesr du tnaÊffi^ OAB. Pour qu'il y ait équilibre* il faut et il suffit que h kntP soit normale à la surfoce S; car on peut la supposer appKfaiir en un point inOniment Toisin de celte snr&oe, et l'équilikÉsV sera assuré si le déplacement virtuel de ce point, parallèleflMl^ à la surface S, est perpendiculaire à la directiim de la buts RI La force F est alors tenue en équilibre par les réactions dei^ trois points 0« A, B, lesquelles sont dirigées suimnt les maies OC, AC, BC. Toute droite qui rencontre ce$ trou maies rencontre donc aussi la direction de la force F, et pir suite la normale F, menée à la surface en un point infinimeat voisin du point 0, rencontre les deux droites CD, CV, qii s*appuient à la fois sur les trois normales OC, AC, BC'.

Le théorème est ainsi démontré. Maison voit du mémeconp qu*on pourrait en dire autant d'une droite quelconque menée ' parle point C dans le plan YOZ, et d'une droite quelconque m^ née par le point C dans le plan ZOX, de sorte que le théorèaie est susceptible d'un énoncé plus général : Les normales àlasÊh face S en ses points infiniment voisins du point 0 renccnirest toutes les droites menées par le centre de courbure d'une seatàm principale dans le plan de Vautre section prindpale.

* ùmpteê rendue de t'Àcadémie des êciencéi, I. XX» iSiSL

El DE HEl'SniEIt. S23

Q semble cependant contradictoire d'admetlre que la dircc- 600 de la normale F puisse renconirer deux droites distinctes ■eno'» par le puïnt U dans le plaa YOZ, sans élre tout entièie ronlciiue dans ce plan. Mais celte contradiction s'exrii^ie aisciiK'nl. vnobsei'vanl que la proposition n'est vraii.' «K pour des dimensions infinimcEJt pelitcs de lu ligure ÛAil. Ltsubïlitulion de la droite CD" à la droile CD dans le plun friacipal YOZ a pour unique efrci d altérer inOniment peu la fai^on de ta Torce F, et cette alléralion s'annule à la limite, ^^^Bble point d'application se rapproche indéûiiimciil du

^B^wrface donnée, aux environs du point donné 0, peut oeuDsidéréc, d'après le théorème de Sturm, comme enpadrie, soil par le cercle osculaleur COA, tournant autour É^rne CD', soil par le cercle osculaleur C'OB tournant auiMrde l'ase CD. Cette double génération avait été indiquée prinitnemenl par Meusnier'. On voit qu'aux axes indiqués QKCII' rien n'empèclic d'en substituer d'autres, pourvu qu'ils fHMnl par les points C et C, et qu'ils soient contenus dans kl plans principaux DOC, AOC. En effel, faisons tourner l'arc n&ûmciit pelil OA autour d'un ane oblique CD", mené dans hfUn AOC. L'élément de surfaw de révolution engendré par aile rotation aura pour rayons de courbure principaux au f«iat Ole rayon de courbure (X) delà méridienne, et la portion OC de la normale comprise entre la méridienne et l'axe, c'esthtm les rayons principaux de la surfuce donnée au point 0. Ces faa Surfaces sont donc osculalrices tout autour de ce point.

149. Soient M, M'... des points matériels Taisant partie d'un iTStèwe quelconque à liaisons, et P, D",.,. des torces appliquées en ces points. A partir des points M, M',... prenons, sur

* ItMiranir li eouibure àei lurTac» [1780).

les directions des forces, des kmgaeors Hlssif , HVsV, k étant nn nombre aibitnire ; celle eonstroelMi nois énsi des points N, N\... que nous considéreroBs comne ftuL Soient p, p'... les longueurs MN, mf'... ainsi définies.

Cela posé, d les forcée P, P,... ee fétU iqmSiTe^ bMaaey , e$î mtiMiiitim on meaàmwm^formi tMtee k» wàUmnffdUfmi lore^e les potnlt M, H',... $MÊêeiU4e$ i^flaeêmmti fMk eampûUUeê avec te$ Umemu.

En effet, soit MM^ le déplacement wtnd imprimé sa piiÉ

^ H, et |i la projection du point M^ nr h ^ direction HP.

> La condition d*équililm sera

^ ^ ou bien

Pif; ISl. tfJjiBfp

ip étant la irariation, ll|&, delà longueur liN=p. Remplaçant P.par v , il vient

ou bien

xWp«=o,

en supprimant le facteur commun t; on a donc

équation qui montre que Zp* est en général un maximo0 ^ K un minimum.

Pour savoir si Sp* est maximum ou minimum, rqpréseoMtf par 0 Tangle H^MN; appelons p^ la dislance M^N, et r le H^ cernent MH^; nous aurons

donc

ce qu*on peut écrire

el il suffira d'examiner le signe de la différence Zr* — Sl^MtQSli