DE G.U'SS. KS

termes sont infiiiimont petits du second ordre. PlDsjears cas sont à distinguer.

I. Supposons d^abord iPîp de niâme signe pour tous les dépbceinenls virtuels compatibles avec les liaisons. Celle somme pourra élre négative ou positive.

!■ Si SP:p<:0,ï|)ï;(seraaussinégalir,e[commeî/)— rcosO, il en !«ra de mâme de SprcosO; Ir' — IZprLOib étant la wnime de deux parties positives, £Zp* est pusilif, pour tout depbcement ; et par suite Ip' est minimum.

? SoîllPSp>0; nous avons toujours

Iplp = îJifip = ksVSp.

Donc Zpip, ou SprcosO, est positif et varie proportionnel le- Kienl au nombre Â:. La différence

ïr« — î£;ir cos g =Ir' — UlVSp

peut recevoir des valeurs négatives pour «ne valeur de k sufbuniinent grande; on peul,au contraire,assigneràcellediffét?iice une valeur positive, en donnant à A; une valeur assez pttile- Dans !e premier cas, la somme Ip* est maiimum ; dans lesecond, minimum. Entre les deux valeurs limites de A', le (ipie lie b différence reste indécis, et l'on ne peut alfirmci l'aiitence ni d'un maximum ni d'un minimum.

11. Supposons en second lieu que SPîp puisse changer de Hgne avec le déplacement imprimé au système. On pourra toujmis prendre le nombre k positif et assez petit, pour que im^ soit numériquement inûnîmcnt moindre que Zi'; car UsofomclprcosO, ou "E-plp, est infiniment petite du second «rire pour des valeurs finies de p, puisqu'on a pour l'équiliire Zplp = 0, aux infiniment petits du second ordre près. Si d^nc on attribue h k des valeurs inlinimeiit petites du premier ordre, Zpîp deviendra un infiniment petit du troisième ordre, c'est-!i-dirc sera înflniment petit par rapport à Ir*, qoi est du second.

Dans ce cas Ip' est minimum pour une valeur infiniment petite du nombre k, et par suite pour une valeur fmie, infé*' neure k une certaine limite.

m TBiOBtB n 6AU88.

Remarque* — Lorsque pour une certaine iralenr àei^Tf ^est maximum, il sufBt de porter les mêmes longueurs f en sens contraire des forces pour rendre Im somme If minimum, car le maximum suppose Zpr costt poâlift et ringiel étant changé en «—•, on aurait l'égalité

d'où résulteraient pour 8Zp* des taleun positifes.

Le même théorème peut s'étendre, en dynamique, anmi»irement d'un systèmCi pourru qu'on joigne aux forces qui k Mllicitent, les forces i^mertie de ses différents points nalériels.

ATTRACTION DES SPHËHES MAT^AIELLES.

tâO. On appelle f)(fsati(fur la propriiilé qu'ont les corps places kbjurface da globe d'âLre attirés vers la terre par une force détermina, qui leur fait exercer une pression sur leurs appûi, s'ils sont en équilibre, ou qui les fait tum6^r, s'ils sont thodunnës à eux-mêmes. Tous les corps sont pesants, litili, on trouve certains corps, dits corps légers, «lui peu-vent K iDtinlcnir en Tair sans tomber à la suifacedu so);maisi'i> fhfnoméne esl di) à la présence de l'air atmosphérique, qui oore une poussée de bas en haut sur tous les corps qui y ml plonges; dans le vide, un corps léger tomberait comme un tBqi» lourd, et le mouvement des deux corps présenterait les ■tees variations de vitesse. Dans l'air, la force due à la pcanteurest diminuée de la poussée du gai, ci le corps n'esl wUidiéen réalité que par la différence, positive ou négative, iewsdeux forces contraires; la résultante peut, dans certains Qt, dre dirigée de bas en haut.

ISt. Les lois de la pesanteur sont fort compliquées, cl elles Mpeuicntétre entièrement étudiées que dans la dynamique, tipeunlcurest variable pour un mèmecorps avec la blitude c VK la liautcar au-dessus du niveau de la mer ; elle varie en direction d'un point à l'autre de la surface du globe; si on Iwtselomberuncorps d'une grande hauteur, ce corps nepar- «wrl la terlleale, direction de la pesanteur, que pendant les ffttnien instants de sa chute : la rotation du (jlobe a pout îHel de l'en faire dévier. Nous laisserons de cflté pour le mo-

SS8 CSRTRE M «BiTRt.

ment Pexamen de cet variations, et nous simpliBeroiui Fètnde de la pesanteur en supposant qu'il s'agisse d'un corps de petites dimensions, en reposa placé & peu de distance de la siv^ face des mers, comme cela a lieu généralement pour les corpi entrant dans la construction des machines. La pesanteir exercera sur les parties de ce corps des actions Terticakii toutes parallèles entre elles. Supposons le corps solide. Toato CCS forces parallèles et de même sens pourront se oomposerca une seule force égale i leur somme ; c'est cette résnlIaBb qu'on appelle le poi^fi du corps; elle a pour point d*appliation le centre des farces parallèles^ qu*on nomme dans do m particulier le centre de gravité du corps.

Remarque. — Bien que la composition des forces supposefB les points d'application appartiennent i un même sysitai solide, un système matériel non solide peut être conaidW comme ayant un centre de gravité; c^est le centre de gratiié Ai système qu'on aurait rendu solide par la pensée, sans en riiè> rer la forme. Si le système matériel se déplace et change à forme, i chacune de set formes successives correspond n centre de gravité particulier.

COUPS HOMOGÈMES. — POIDS SPÉCfflQOB.

152. Le poids total d'un corps, solide ou non solide, est II somme des poids de ses diverses parties. On dit qu'un corps est homogène lorsqu'un volume donné du corps a toujours le même poids, en quelque endroit qu'on prenne ce volome. Dans ce cas, le poids est proportionnel au volume ; on obtient le poids total d'un corps homogène dont le volume et donné, en multipliant ce volume par un nombre qui dépend de la nature du corps, et qu'on nomme poids spécifique. Si l'on appelle P le poids total d'un corps homogène, V son vdame, et p son poids spécifique, on a entre ces trois quantités 11 relation

P = Yxp.

POIDS SPËCIFIQUB.

Li quantité P est rapportée à Vuntlé de poitfs; la quantité V, à l'ud/lr' 'le volume; enfin le nombre p exprime, en unités de poids, le poids de l'unité de volume. L'équnlion est donc homogène. L'unité de poids reste arbitraire. On est convenu en France de prendre pour unité le poids de l'unité de volume d'eau distillée. Pour l'eau, par conséquent, le volume et le poids sont exprimés par un m^me nombre. Si l'on prend, par exemple, pour unité de volume le centimètre cube, l'unité de poids s'appelle le (/rninme; c'est le poids d'un centitnèlre cube d'eau. Si l'on prend le dû-cimèlre cube, l'unité de poids correspondante est le kiloijramme, poids égal à 1000 grammes, ou au poids de 1000 centimètres cubes d'eau. Le décimètre cube contient en effet 1000 centimètres cubes. Enfin, si Ton prend pour unité de volume le mèlre cube, l'unité de poids correspondante est la tonne, qui équivaut à 1000 kilogrammes, ou à 1000000 de grammes, et qui représente le poids de 1000 décimètres cubes ou de 1000 litres d'eau, ou encore de 1 000000 de cenlimèlres cubes. Pour l'eau distillée, quelle que soit l'unité de volume qu'on adopte, le poids spécifique p est égal à l'unité numérique. Cette convention suppose l'eau prise a une température définie, qu'on a fixée h 4" centigrades environ, et qui correspond à son maximum de densité. Au-dessus comme au-dessous de cette température, un centimètre cube d'eau distillée a un poids un peu moindre qu'un gramme, et un poids spécifique un peu inférieur à l'unité.

155. On détermine en physique les poids spécifiques des divers corps, solides, liquides ou gazeux, ou plutôt les rapports de ces poids spéciliqucs à celui de l'eau, et les lois de la variation des poids spécifiques avec la température et avec li pn^ssion. On a dressé des tables qui donnent le poids spécifique des dilTérents corps. Celui du mercure est d'environ 1 3,0: celui de la fonte, d'environ 7,2 ; cela veut dire qu'un volum > donné de mercure (pris a la température de 0°) a le mèmi; poids que 15,6 volumes égaux d'eau distillée (à la température de i°), et qu'un volume donné de fonte pèse autant que

S3t POIDS SPftCVIQn.

7,2 fois ce même Tolame d'eto. Pir exemple, 1 oenlimite cube de mercure à 0* pèse 13'',0, et nn mètre cobe de fonte à la même température pèse l^^'^^i on 7S00 kilogrammes. Le volume correspondant i un poids donné d*an ccrtsm corps se dèlcrroine en divisant le poids donné par le poiib spécifique. Cherchons, par exemple, quel volume occupe oa poids de 480 grammes de mercure i la ' température de léro. Il suffira de diviser 480 par 13,6, poids spécifiqne du mercure; il vient au quotient le nombre S5,994..., qoi exprime en centimètres cubes le volume cherché. Si Ton demande quel volume de fonte pèse 40 toniies, on divisera 40 par 7,2; le quotient est 5*555555...; le vdume demaniè

est donc 5 métrés cubes 555 dédmètres cubes 555 orafiaft*

1res cubes, etc., ou 5 mètres cubes g*

Lorsqu'il s'agit d'un gai, il est nécessaire de connaître nonseulement sa température, mais encore sa preiason, pour dir terminer son poids en fonction de son volume, et réciproque: ment. Cela tient à ce que le même poids de gax occupe des va* lûmes très dilTérents, suivant qu'on le comprime plus oa moins, tandis que les pressions extérieures les plus considérables exercées sûr un liquide ou sur un solide en altèrent i peine le volume.

154. Lorsque des volumes ^aux, pris en différents points a'un corps, n'ont pas des poids égaux , le corps n'est pas Im^* mogène, et le quotient de la division du poids total par leva* lu me ne donne plus que le poids spécifique moyen. Si on divise de même le poids d'une portion définie du corps parle volume que cette portion occupe, on obtient le poids spéor fique moyen de la portion considérée. Enfin, le poids spiàfiifiA d'un corps non homogènes tin point donn^ est le poidsspèdfique moyen d*une portion infiniment petite prise dans le corps autour du point donné, ou la limite vers laquelle tend le rapport du poids de celte portion variable au voluiDS qu'elle occupe, à mesure qu'on en réduit les dimensions jus* qu*à zéro.

QUANTITÉ DE M4TIË11E.

MCSL'IiE DE3 QBAKTITÉS DE MATIÈRE. — MESURE DES FOnCES.

455. Le poids d'un corps peut servir h l'évaluation mimé- |uc de 1.1 rHantilê de matière que ce corps renferme. Nous

savons pas ce que c'est que la matière, et il paraît à peu es impossible d'en donner une définition claire et précise. iQS pouvons du moins admettre que deux corps ayant le ime poids renferment la inûme quantité de matière, et que ux corps ayant des poids différents renferment des quanli- I de matière proportionnelles à leurs poids respectifs. Sans ulc il existe une différence de nature intime entre les dirs corps simples de la cliimie : on ne peut changer, par empie, du fer en hydrogène ou en mercure; on dira néanoins qu'un kilogramme de fer, un kilogramme d'hydrogène, I kilogramme de mercure, représentent chacun des qnanés ^yles de matière. Les réactions chimiques qui s'opèrent Irc des corps de natures différentes, n'allèrent pas les quan- «8 de matières mises en présence les unes des autres ; elles

résument dans de nouveaux groupements des éléments instilnlifs des corps, mais il n'y a ni matière créée ni macre détruite. La recherche des poids permet de constater itle vérité, principe fondamental de la chimie moderne.

Bans la vie pratique, c'est au poids que se vendent la pluart des produits de l'agriculture et de l'industrie; parfois on ubsliiueau poids la mesure d'un volume, mais c'est qu'alors n trouve plus commode de mesurer une capacité que delTecuer une pesée, et que la constance, absolue ou approximave, du poids spécilique de la chose vendue permet de regar- -r le volume comme sensiblement proportionnel au poids. *) Litogi'amme de pain représente bien une quantité défmie ' pain, c'est-à-dire, abstraction faite de toutes les qualités 'ïsiques et chimiques du pain , une quantité définie de mo- ^f. La recherche du poids n'a donc souvent pour objet que ^aluation d'une quantité de matière, et c'est pour cela que.

I dans la définition l^le de rnnitè de poids, on n'a fait enbfcr ni la hauteur au-dessus du nitetu de la meft ni la lalihide èi lieu où doit se foire rexpérience. Le gramme est, en tom lieux, le poids du centimètre cube d*eau distillAe k IT ; et bidl que, i égalité d'altitudes, la pesanteur soit moindre k Tèqualcir qu'aux pôles, un poids d'un gramme transporté de Tèquate au pôle représentera partout un poids égal k edui da ceriimètre cube d'eau, car ces deux poids varient tous deux dek même manière avec la latitude, et restent égaux partout, db qu'ils sont égaux en un point particulier du globe '•

Il n'en est plus de même si l'on se sert du poids oonunea^ iure de la farce. Le poids d'un corps est la résultante éà forces parallèles dues k la pesanteur, appliquées k foules in molécules de ce corps. La pesanteur variant avec Tallituded avec la latitude, ces forces et leur résultante varient poar is même corps avec la position qu'on lui donne par rapport aa globe terrestre. Le poids d*un corps ne repràente dbnepsi partout k même force, et pour évaluer les forces en kilogr»mes, comme on le fait communément, il fout avoir soin d» définir le lieu où l'évaluation doit être foite. Nous admetinm ici que ce lieu soit situé au niveau de la mer, et sous la liii' tude de Paris (48* 5(K). Du reste, les variations de la pesanteur sont généralement assez faibles, dans les circonstances ordinaires de la pratique, pour qu'on puisse en faire absbiotien, même quand il s'agit de mesurer les forces.

MESURE DES rORGES PAR LE DTlUlKBfkTaX.

156. Si Ton veut s'affranchir de ces variations de lapesia* leur, il faut comparer la force k mesurer, non plus k un poids

* Ces notions seront complétées dans la dynamique. Le poids P d'nn ooipi ot le produit de V accélération g due k la pesanleur par la «Mute m de oe oorpi. La masse est la vraie mesure de la quantité de matière que le corps renferme; c'est un nombre constant pour un corps donné. Le facteur g varie d'un Ueo à l'autre, et le poids P éprouve les mêmes variations. En un même lieu, les poiéi soat proportionnels aux masses.

DES FOHCES. 933

rie d'un point à l'autre, mats à une force qui soit la même partout; la force que l'on choisit comme Icrme de comparaison est celle que fournit l'élasticité des solides. Lappareil d'évaluation prend le nom de dymmomèlre.

Soit AB une lame d'acier, solidement engagée dans im mur MN sur toute la longueur AC, de manière que cetle portioD AC puisse être regardée comme fi\e. Si l'on applique h l'exlréoiilé B une force F, perpendiculaire à la direction de la lame et agissant dans son plan moyen, la lame ilécliit et la portion libre devient une courbe AI!', langetite en A à sa direction primilive AB. Le déplacement total BB' du point B, exirémilé libre de la larac, c'est-à-dire la flèche pri^e par te , ressort, dépend de l'intensité de la force F, de la lon^eur et des dimensions dt> la lame, enfin de l'élasticité plus ou moins grande de la matière dont elle est composée. Or l'expérience montre que tant que la flèche csl suffisamment pelitc, elle est proportionnelle à la force F qui la produit, La ficclie peut donc servir de mesure à la force, et pour évaluer la force, il suffira d'évaluer la (lèche BB' correspondante, au moyen d'une échelle graduée.

Le dynamomètre (fig. 153) est fondé sur le même principe.

Il est formé de deux lames élastiques toutes pareilles, AB, A'B', auxquelles on donne un profil parabolique propre à en augmenter la llexibilité; ces deux lames sont réunies en ÂA', BB', par dos brides

courtes et rigides; l'une t |r^ u

d'elles est attachée en I ~™ 1

son tnilieu C à un point -r ~~Tb b'

qu'on peut regarder I

comme tixe ; en face de

ce point , on applique en D la force à évaluer. Au commencement

de l'expérience, on a noté exactement la position du point n par

rapport au point m. Après l'application de la force, les lames

S54 DYlUMOlftni.

fléchissent toutes deux de quantités égales» et pranenl It forme A^mB^, ^\^^\ (^- *^) t ^ distance im est devemNi par suite de la flexion, égale k imii; A comme les brides Ai', BB' sont très courtes et très peu déformables, raoeroiaaeaMt

M fif^ de la dislancedei

"■^^^i^ mÛieax est la somne — .Jp des flèches prises p«

^, '* les deux ressorts, oa

le doable de la flèche ^**^ AAf, prise par Fim

d'eux. La longueur iifi| est donc proportionnelle à la force appliquée au point D, et il suffit d'évaluer cette longueur sur une échelle, E, convenablement graduée, et ayant son lèfo en face du point n, pour avoir la mesnre demandée.

On atlachera successivement au point D des poids iê 1, 2, 3, ... n kilogrammes, et Ton notera sur réchdb les positions correspondantes prises par le point mobile % dans chaque expérience. La graduation sera ainsi bile empî: riquement. Supposons qu'on Tait opérée i Paris, et au nivMi de la mer. Chaque division de l'échelle correspondra à use force d'un kilogramme {valeur de Paris) ; transporté ailleon, le dynamomètre donnera des évaluations de force dans cetie même unité. Ainsi, le poids coté 1 kilogramme courbera on peu plus le dynamomètre à Pétersbourg qu'à Paris, et marquera à réchclle une déviation nn^ plus considérable, parce que Pétersbourg est plus voisin du pôle que Paris; le mèoe poids, porté sur une haute montagne, produira une déviatloo moindre, parce que la pesanteur décroît à mesure qu'ofl s'éloigne de la terre ; et l'échelle fera connaître exactement les forces appliquées à ce même poids dans ses diverses positions, en les évaluant toutes en kilogramme, valeur du lieo où s'est opérée la graduation. Le dynamomètre permet donc d'èludier les variations de la pesanteur.

La forme parabolique donnée aux lames du dynamomètrei et Tassemblage des deux lames, ont pour objet d'augmeoter la sensibilité de Tappareil, et d'accroître la longueur doitf oi

ATTHACTION DES SPllÈBES, s:;

M JMenniner la mesure. L'appareil serait parfail si l'élasliôlé des métaux n'était pas sujelle à s'allércr h la suite des dl>.*rts qu'ils ont subis. Mais il arrive qu'au bout d'un certain d'eipérienccs le dynamomètre, rapporté an lieu de lalion el soumis successivement aux mêmes poids, ne ['plus rigoureusement les mômes (lér lies qu'à l'origine, dynamique donne des moyens bien plus parfaits dVlu- Oet le» larialîoDs de la pesanteur en difrércnts points du

ATTnACTIOH IiES SmÈRES HAT£;[;|[:LLL3.

!5*. Nevlon a reconnu que la pesanteur est un cas parlicaler d'une loi beaucoup plus généi'ale, celte de la gravitation WÊOtnfUe.

Tokt comment celle loi est TormulLie :

ScDEtil A et b deux molécules, situées à une disfance il^r. Appelons m la iinaiililé de matière contenue daus la ■riécule A, et m' la quantité de matière contenue dans la ■mUcu'd B, ces quantilés élant

apportées à une unilè arbi- . i — Z 1. — E

Inire, à l'unité de poids par

oenpie. La molécule A exerce

■pla molécule D une altraction F, dirigée do B vers A; la

Molécule b exerce sur la molécule A une aUractionégaleF', di-

àfie de A vers B, et la valeur commune de ces deux Ibrces

Mbidles est donnée par la formule

«f est un nombre constant, dépendant du clioix des unités ip) out servi à évaluer la distance t-, la force V et les quanlilés de matière m et m'.

158. La terre, le soleil, les planètes, sont des corps h peu pTts sphériques. CherclioDs la rësullanle de toutes les actions •Undivcs exercées par les molécules de l'un de ces corps,

sphérique homogène, dont le rayon OB est égal à B renferme une quanlité de maliëre de p unités par unii^ face.

Soit A le point attiré , que nous supposerons d*a] dehors de la sphère, à une distance ÂO = a du centn désignerons par m la quantité de matière de ce point.

Coupons la surface sphèrique par deux plans infi vi>i$ins, perpendiculaires tous deux à la droite AO ; i ce> plans est protilè sur la figure en UPM ; l'autre est

Fig. 136.

une distance infiniment petite du premier ; tous deux minent sur la surface une zone sphèrique profilée suif

SCn rs POINT ÏATÉniEL

iM de U zone; l'aclioD ailractïve f qu'elle exerce sur le 'A • pour mesure

f clanl \a quantité de matière contenue dans la molécule; (Mie force, ?. dirigée suivant AM, peut se décomposer en deux bats, l'une AR dirigée suivant AP, l'autre AS dirigée nor- ■alcuent à AP dans le plan PAM. Or la force AS est détruite ftr la composante normale, AS', de la force ç', égale à 3, sercèesur le point A par la molécule N, symétrique de M par apport à l'axe AO ; de sorte que toutes les forces normales à H>, cl provenant des artions de la zone MM', se détruisent dnxàdeux, tandis que les forcos AU, dirigées suivant AO, l^qootoil, cl donnent par leur somme l'action totale exercée fir Li lone entière.

La composante AU, qui correspond à l'action de la molénleM, se déduit de la similitude des triangles AB?, APM ; il nent en elfel

Ar.=

fXjjj =

Pour pa<:ser de \h à la somme des composantes Alt provclul des actions de toutes les molécules de la zone MM'.VN, il wffil de remplacer le facteur y. par la quantité totale de malière que cette lone renferme. Or la surface de cette zone, ^'ofi peut confondre avec la surface convexe d'un tronc de dK, a pour mesure le produit de l'arc MM', génératrice lie liBirface du cûne, par la circonférence décrite par le milieu Scelle génvrairicc', mais, à cause de la petitesse de l'arc MM', wpeul substituer !i la circonférence décrite par le milieu de m vc b circonférence décrite par l'une, M, de ses eKtrémiih, c^cst-â-dire le produit 2ic x MP. La surface de la lone est

doDCy en négligeant les inflninmt petits d'ordre sapérieora premier, ""

La quantité de matière contenue dans Tonité de nrbc» étant représentée par p ^ la matière «mlrane dans la vm HMinf est représentée par le

Ss^XMPxU'»

et enfin Faction attractive totale H, eiercée par la vm nr k point A, et dirigée de Avers 0, a pour mesure

H»/iMX«xaiipxMPxup»

n^ut^y<il>SJ^^.

Du point 0, abaissons les perpendiculaires 01, W sur to droites AM, AH' prolongées. Les points I, l\ milim desmèi MM^, Wîl\y sont situés sur une même circonférence (VA,!^ crile sur AO comme diamètre. Joignons MO, et abaissons B perpendiculaire sur AM'.

liCs triangles rectangles AMP , AOI sont semblables d donnent les proportions :