MM

Nous substituerons au rapport j^ le produit égal de»

, MM' MK rapports ^k >< ÂM'

Le triangle KHM', dont les trois côtés sont infiniment petitSi est semblable au triangle MOI; car ils sont tous deux redftOgles, Tun en K, l'autre en I, et de plus l'angle KMM', qui a ses côtés KM, MM' respectivement perpendiculaires i AI' et à IH),

SUR XTS POIKT EXTÉRIEUIt. S3ff

à limite, & Al et à MO, difrùre infiaiinent peu de l'angle MOI- On a donc la proporlion

MM' MO ™ UK "^ ill'

jLlriuiglea AMK, AU' sont aussi semblables et donnent la ne proportion

làipliom membre h membre les égntitës (I), (3), (Z) et (4) ; Itiduh^, en supprimant le facteur commun MK,

4t lotte que l'allraction U s'exprime par le produit

I Ih longueurs finies AI et AL différent d'une quantité LI, infî' t petite; leur rapport a donc pour limite l'unité: ll^al à n, rayon de la couche sphérique, et AO est .«, distance du point A au centre; en rèsumô, nous B mettre l'attraction de la zone MM'N'N sous la forme

■fremiêre parenthèse comprenant tous les facteurs con- •Iwt». et la sei'onde les facteurs qui varient avec la position ■ l» wne, Kous allons transformer encore celle seconde pa-

Ulriangle MOI, rectangle en I, nous donne l'équation

^wlBqoelleOIetM

i! tiendra

sont variables; dirférentions cette équa-

01Xd(0I) + MIXrf(«l) = 0.

340 ATTRACnO!! D*0!IB COUCHB SPOËRIQUE

Or la difiérenlielle de 01 est donnée sur la figure par la dilTè* i-ence 01' — 01= U'. On a donc

— ^y!=— rf.(Ml) = — (M'r-MI) = MI — M1'={ML-hU)-(KI'-M'),

et comme Kl' est la projection sur la direction AM' de la droite fmie ML, laquelle fait avec cette direction un angle inGniment pi^tit, on a aux infiniment petits du second ordre près, ML = Kr. Donc enfin

■ 6 jîj— = U -h Kll'.

Mettons cette valeur à la place de la seconde pareniMx dans 1 équation (5), et nous aurons Tégalité beaucoup pla simple

11 ne reste plus qu'à faire la somme des valeurs de I pour toutes les zones infiniment petites dans lesquelles oa peut décomposer la surface sphérique, c'esl-à-dire à hin la somme des quantités U et KM\ qui seules varient de Tau à Taulre. Or remarquons que KM' est la différence to droites AM', AM, menées du point A aux deux cxtrémilésJe lare qui engendre la zone considérée. De même Llcslh diflérence dos droites Al, xVl', menées du même point i aux deux extrémités de Tare U', que les mêmes direcliow iiilerceplent sur la circonférence OFA. La somme des quanlitos KM', pour un certain arc fini BM de la demi-circonferenoe BC, sera donc égale à la différence, AM — AB, des distances du point A aux deux extrémités de cet arc, et 1* souime correspondante des quantités LI donnera la diflérence, AO — Al, des distances du point A aux deux exlrtniité<, 0 et 1, de Tare 01 qui correspond à Tare BM surb eir» onlérence OFA.

Celle circonférence OFA coupe la circonférence BFC aa point de contact, F, de la tangente issue du point A. L'attrac-

Sun DS POINT EïTEHIEUfi. !ll

cée sur le point A par la zone FBF', située à gaucho T', a donc pour mesure