i:^« X (AF - AD + AO - AF) = !:ifî
rallraclion exercée sur le point A par la zone FCF', lèle la sphère, a pour mesure
-XlAC — AF+AF — A0) = -
Hion de la sphère entière est la somme II' + H", ou ou enfin
trtfmp X r.'
i sphère enliêre, la somme de lous les éléments KM au diamètre, (andisque la somme des éléments LI, )0Eilif5 pour toute la zone QK, et négatifs pour toute 1, se réduit à zéro.
ssion — '—^ peut s'écrire de la manière sui-
^X(«;rlt'XplX»it
Bce de la couche sphèriquc a pour mesure iicR*. Le î celle surrace par p est la quantité totale de matière dans la courhc ; si on appelle M celle quantité, t'alpour mesure
e qu'elle est égule à l'attraction exercée sur la molar une molécule coulenant la qunniité M de matière, centre Ode la couche sphèrique. En d'autres lermes, r spltéiique homocjèite exerce sur un point matériel la même altraclion que si toute la matière formant le était concentrée en son centre.
I en dire autant de chacune des coiii:hes sphériques
>- aie. CDLLKHon. 16
Sll
AmAcnoi
homogènes dont nous a?ons sapposè le globe attinnt eosposé; de sorte que rattraetion eaureA mar «i pomt etUrûv par une sphère masHve^ eamposée de cauekee eaneaitriqiÊa iomogènes^ est la même quesitaiÊte la wuitiire de la êphlreàmt concentrée en son centre.
159. Si en6n' on considère deox sphères massÎTes S etS^, composées chacune de couches concentriques homogènes, oa ne changera rien, en vertu du théorème précèdent, à ratine* lion exercée par la sphère S sur un point matérid pris daai la sphère SS en réunissant toute la matière de la sphère S m son centre 0. On est ramené par là i considftrer 1 attraetioa exercée par le point matériel fictif 0 sur tous les points de h sphère S^ attraction égale à celle que tons les points de li sphère S' exercent sur le point matériel 0. Appliquant de a» veau le théorème, on pourra supposer que toate la maliin de la sphère S' est concentrée en son centre (K; de sorts qu'en résumé on n'altère pas les attractions mutuelles en coâcentrant à la fois la mati&re de la sphère S^ en sou centre 0, A la matière de la sphère S' en son centre (y. Deux tphèraMstf^ rielles, composées chacune de cauAes ameenirifuei hùmogimit s'attirent donc de la même manière que si la matière de Aefu sphère était réunie en son centre*
160. Voici pour le même théorème une démonstratkm géométrique plus rapide.
Soit (fig. 137) 0 le centre de la couche sphèrique, OBson rayon ^ et A le point attiré.
Considérons un élément de surface MM'; Taction qu'il exerce sur le point A est dirigée suivant AM, et a pour valeor
sa composante suivant AO est égale è
Ai*
^ Au point M, faisons Tangle PMO = MAO. La droite V coupe la droite OA en un point P qui est fixe sur cette droite*
DES sphèhes iioxogënes. su
En effet, les iriangles OMP,OAM ont un angle commun en 0, et deux angles égaux ; ils donnent la proportion
quantité constante i]uel que soit le point M. On peut observer que P est conjugué harmonique de A par rapport aux extrémités B et B' du diamètre AO.
Du point P comme centre avec un rayon égal à PM, décrivons un frag- ''' '^^'
ment de surface sphérique, et considérons sur celle surface la porlion Mm inlerceplée par le cflne qui a le point P pour sommet et l'aire MM' pour base. La surface élémentaire Mm sera la projection orEhogonale sur cette sphi>re ile l'élémenl MM'; et comme l'angle des deux surfaces est égal â l'angle OMP^A de leurs normales respectives, on aura surf. MM' X cos A := surf. Mm. Les triangles semblables OMP, OAM donnent de plus
on peut donc remplacer AM par
55' ce qui transforme l'action élémentaire, estimée suivant AO, en
PM'xfM'
Mais — T^ — est l'aire ds interceptée par le cûne PMm sur
la sphère décrite du point P comme cenire avec un rayon égal à l'unité.
3U inBACnon dure COUCBB SPHftRIQtlB
Les autres facteurs sont constants ; de sorte qu'eo dèsigunl par la caracléristique Z la sommation de tous ces éléments di autour du point P, od aura pour l'action totale subie par le point A
ou bien
-XUf,
jWxtiriîlP.
c'est-à-dire le même résultat que si l'on concentrait toute U matière de la couche sphérique au point 0.
161. Nous avons supposé {§ 157 et suiv.) que le point A, attiré par la matière répartie uniformément sur une surface sphérique, était extérieur à cette surface. Cherchons k résoudre la même question dans le cas où le point A est placé i l'intérieur de la couche. On po«u^ rait suivre une marche analogue i celle que nous avons indiquée ponr le premier cas. Hais une remarque - de géométrie permet d'abréger li solution.
Considérons, comme nous l'aTOns fait dans le premier cas, l'atlractioa totale exercée sur le point A par li matière de la zone profilée en H)f et NN', et comprise entre les deux plans parallèles infiniaient rapprocliès MPN, M'P'N'. Cette altraclion est dirigée du poiatA vers le point 0, et a pour mesure
3n/i«px4-,XWX«H'.
' '^ Aï'
Prolongeons les droites AM, AM' jusqu'à leur seconde reii' contre avec la circonférence en M,, M',. L'arc M,M', senlî profil d'une zone sphérique comprise entre les deux plans parallèles M,P,N, , M',P',N',, et l'atlraction totale exercée surle point A par la matière de cette zone, altraclion diiigée da»
SUR US rOIST INTÉtVIEUII. 2*5
le sens AB, aura pour mesure, en appliiiuant la môme formule,
2«/>«pX =
X31,P,Xll,lI',.
Les arcs infiniment petils MM', M,M', peuvent élre confaiidus avec leurs cordes, et forment avec les droiles AM, AM', AM, , AM', deux triangles semblables; les triangles AMI', AM,P, sont aussi semblables. Ces triangles donnent les proportions;
Le^ mullipliant membre à membre, et observant qu'à la limite se confond avec AM, , il vient
->:VH'XPH =
jXM.M'.xP.M,.
Les dcDs attractions sont donc égales, et comme elles agissent sur le point A en sens contraire l'une de l'autre, elles se font équilibre. L'atlractîon de la première zone est déiruite par r&llroctîon de la seconde. Donc
L'aJlraclion totale exercée par une couche sphérique liomoghie «BT un point matériel placé au dedans de cette couche est mule. On peut remarquer que le plan mené par le point A, perpendiculairement â la droite UC, partage lu couche sphérique ea deux régions, dont les utiraclions partielles sur le point A uni égales el contraires.
La m(>me méthode nous ferait reconnaître , si nous ne l'avions vu déjà, que quand le point A est à l'L'xIérieur, le pUn EE' (fig. 13C), plan polaire du point A par rapport à la ■Urface sphérique, partage la couche en deux zones b. une •lasc dont les attractions sur le point A sont égales el de môme «cns.
Î46 ATTRACnOK
Fig. 130.
SOLCTIOlf AKALTriQDI DU HÈHE PROBlllIC.
162. Soit R le rayon de la sphère; a la distance OA, que nous supposerons d'abord supérieure à R.
L'attraction élémentaire exercée par un élément M de la couche sphérique sur le point A sera
m étant la quantité de ma'.iére renfermée dans le point A, et
(A la quantité de matière a^ X de l'élément attirant M
Décomposons la force t suivant la direction (Ut et suivant une diredioi menée dans le plan MAO perpendiculairement >
AO. Les composantes normal s à AO de toutes forces ëlémeo
taires se détruisent deux à deux, et il vient pour rattractioo
chercliée :
le signe Z s'étcndant à tous les éléments |jl qui composent la surface sphérique, et la lettre a désignant l'angle MAO.
Pour donner à celle expression la forme difTérenlielle, définissons la position des points M sur la sphère par deux angles, l'angle 0 = AOM, et Tangle dièdre (|;, formé par le planAOI avec un plan fixe conduit par la droite OA; tous les points de la sphère pourront être atteints en faisant varier <]; de U àSfj cl 0 de 0 à X. Considérons réiément de surface compris entre les plans <|/ et (|/ 4- (/<|/, et les cdnes correspondants aux angles 0 et 0 + dô. Cet élément est un rectangle inQniment petit, qui a pour côtés, dans un sens MP x i^y ou R sin ^i^^ et daos
