DES SPHÈRES HOMOGÈNES
raofre sens, OM x dO ou Rc(0. Sa surface est donc égale à R'sioOdOii^f, et la quantité de matière qu'il renferme es
Posons enfin AM=u, et nous aurons pour Pattraclion élénenlaire estimée dans la direction AO,
/iwpR'sin MBtJi^ coi« J? '
de sorte que l'attraction totale cherchée est l'intégrale dou- Ue
} t/4.sO
dddl»
a bisaot sortir du signe // les facteurs constants.
Llnt^rale relative à 41 s'opère immédiatement en observt que tf et a sont des fonctions de 0 seul; on a donc fibrd
fl=V««/>R« ■ --"^»«^^
I i sinQcoa
Pour faire la seconde intégration, nous changerons de valiibles et nous exprimerons a et 0 en fonction de u. Le triangle ÂMO nous donne
R« = u* -|- a« — 2ati cosau
'^'"= — isi —
Le même triangle donne aussi
tt« = R« 4- a« — 2Racos9.
Kfièrentiant celte équation, il vient Ame
Ra
248 ÀHRACTION
Substituons dans la différenlielle, nous aurons
8m6cosa<fg ti*-i-fl*— R* m<tf i î? iau ^ Ka ««
Les limites de l'intégration seront u=AB = a — R cl u=: AC=a + R, et nous aurons pour l'atlraction totale :
L'intégrale générale est u .
'«^aisant d*abord u == a + R , elle prend la valeur
a+R-2l^ = a + R-(a-R) = 2Il.
Puis pour u=a — R, elle devient
a—R — î!Ll^=-a — R— (fl + R) = — ÎR.
La diiïérence est 2R — (— 2R) = 4R, et par suite
„ 2ir/in/>R« ^p /•x(4;tR«Xp)Xm " = "2R5i"><*^= S5 •
expression déjà trouvée.
163. Si le point était à l'intérieur de la sphère, le calcul précédent subsisterait, sauf en ce que la limite inférieure de l'intégration serait R — a au lieu de a — R, de sorte que Tintégrale définie
aurait pour valeur la difTérence
(■+- ^X»— te?)-.
.et l'attraction serait nulle.
