DES SPHÈRES HOMOGÈNES

164. n y aurait encore un cas limite à examiner, celui où le point serait situé sur la couche sphérique ; on a alors a = R, d Imtégrale générale semble se réduire au; prise entre les iiBiles«=0 et tt=2R, elle aurait la valeur 2R.

lais Texactitude du résultat serait douteuse, parce que le

o"— R* terme de l'intégrale générale ne peut pas être supprimé comme nul quand on donne à u la valeur zéro. Pour traiter ce cas, il vaut mieux revenir à la variable 0 ; on a a la fois (Bg. 140)

. S OOSa = 81117,

ella distance AM = u s'exprime par 2R sin ^ ; par conséquent

nntfcosgçg 2 .

lit Q^^

" 4R«8in«|

easupprimant le facteur commun sin*x.

L 'inl^rale doit être prise entre les limites 6 = 0 et 6 = z. Orona

«Ire les limites 0=0 et ô=ic, cette — fonction a pour valeur lunité.

Donc

La quantité H, considérée comme fonction de la distance a^

250 AITRAGnOI

est donc discontintte ; elle éprouTe une brntqne fuU&m pov a=R, elelle prend la nleorO pour Umle valeur de e,fQst ive et inférieure i R.

LOIS M l'aTTIACTIOR MES MnÊMMB WUVOM.

165. Soit 0 le centre, et C8 la aurfiiee d'une iphèn massive que nous supposerons homogène; nous reprisnterons par p la quantité de matière contenue dans chtqtt unité de volume de cette sphère. Nous supposerons ensidle qu'un point matériel A parcoure la droite indéfinie 01,

ne* 141.

menée par le centre de la sphère. En chacune de ses pou* tiens, nous appliquerons les théorèmes précédemment trouvés, et nous déterminerons l'attraction totale exercée sur lui par la sphère matérielle; nous pourrons donc élever es ce point une ordonnée proportionnelle à cette attraction, et nous construirons ainsi une ligne dont les ordonnées soccessives représenteront les valeurs de l'attraction qui correspondent aux positions occupées par le point matériel 8or Taxe OX.

Lorsque le point matériel est placé au centre 0, il est il centre de toutes les couches composant la sphère, et Tattrietien qu'il subit est nulle, en vertu delà symétrie. L'ordonnée de là ligne cherchée est donc nulle pour le point 0.

Prenons un point A appartenant au rayon OB, à une distance x du centre. Du point 0 comme centre avec OA pour rayon , décrivons une sphère : le point A , placé i

DES SPHÈRES IIOVOGË\ES. Sût

Coriace de cette sphère, est extérieur aux dilTérentes andies dont on peut la regarder comme iormée. Il est, au osBinire, situé à l'intérieur de toutes les couches sphériques remplissant l'intervalle compris entre la sphère AO H b sphère OB, et par suite ces couches n exercent pas fKlion sur lui (g 160). La sphère OA agit sur le point A CBaunesî (ouïe sa matière était réunie en son centre; or son

■-' ' ;cx^; la quantité de matière qu'elle renferme est

I lirillraclion eiercée par un point ayant cette quantité de ulicce, et placé au point 0, est donnée par la furmule

îous prendrons donc au point A une ordonnée AD^ s s/pinj; ,

t< aous obtiendrons le point D qui appartiendra au lieu. La

n^m formule s'applique à toutes les positions que peut recc-

w le point attiré sur le rayon OB; à la limite, quand il est

4enD,il suftira de Taire i = fi, rayon de la sphère, et on

lur l'attraction correspondante

Cdtequantité est représentée sur la figure par l'ordonnée BE. Itt ordonnées AD, BE, sont proportionnelles aux abscisses OA, OB,elpar suite le lieu cherché est une droite OE. Mais celte évite ne doit pas être prolongée au delà de l'ordonnée BE, tir la loi d'attraction change quand te point matériel est en ilcbors de la sphère.

Supposons ensuite x"^ R ; le point attiré occupe une position A'. H est en dehors de toutes les couches sphériques malcridles-, par conséquent, toute la matière de la sphère agit

SIS ATTlUCnO!!

comme si elle êtail conoenlrée au point 0. L*attraclion est donc représenlée par

quantité qui décroît indéfiniment à mesure que x augmente, et qui est représenlée par les ordonnées décroissantes deh courbe EF* asymptote à l'axe AX.

ICC. Cette théorie trouve son application dans l'étude de la pesanteur. La terre est à peu près sphérique. L'attraction qu'elle exerce sur un corps quelconque est donc à peu pris dirigée vers son propre centre, et elle décroît à mesure queœ corps s'éloigne, proportionnellement à l'inverse du carré de» distance à ce point. Mais le mouvement de rotation de la terre altère ces résultats; le poids d'un corps n'est pas seulement dû à l'attraction de la terre, il subit aussi en grandeur et en direction l'influence du mouvement diurne; sous celle même influence, la terre ne peut conserver la forme sphérique, et prend une forme ellipsoïdale. De là un nouveau problème à résoudre, le problème de Vattraction des ellips<Âie$^ qui est beaucoup plus compliqué que celui de Tatlraction des sphères, et dont nous ne nous occuperons pas ici. II noussaffit d'indiquer que le poids d'un corps est une véritable résultante de deux actions principales, savoir : l'atlraction te^ rcslie, et une force fictive due à la rotation du globe, et qu'iU pour direction la verticale^ droite normale à la surface de Tellipsoîdc terrestre.

Si deux systèmes matériels sont situés à une distance cxtrèmcment grande par rapport à leurs dimensions, les actions attractives exercées par les molécules de l'un sur les molécules de l'autre sont sensiblement parallèles, et proportionnelles aux quantités de matière de ces molécules; les distances sont en effet à peu près égales pour tous les groupes de molécules prises deux à deux d'un système à Tautrc. Dans ce cas, raltraction subie par l'un des systèmes peut être assimilée à la pesanfour : toutes les forces appliquées aux divers points matériels