KCHEBCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ. MÉTHODE GÉNÉRAL
168. La recherche du centre de gravité d'un système ma- Krid se ramène immédiatement à la recherche du centre des hees parallèles (g 34). Il sufBt d'appliquer à tous les points ■itériek du système des forces parallèles, de même sens, et fnporlionnelles chacune au poids ou à la quantité de matière Meoue dans ce point. Puis on emploie les formules du § 48, c'està^ire les équations des moments par rapport h trois ua rectangulaires ; on trouve ainsi les trois coordonnées du point cherché.
Soit, par exemple, un système formé de n points, dont les coordonnées sont
Vi y% ... ynf €ldoDlIcs poids sont respectivement
Pï p% ... Pn\
le poids total P du système sera
et les coordonnées X» T, Z dn centre de gnvité seml perles équations:
p jjp»
ItemeffM /• «- Si Ton moltiplie par un même i les 3fi coordonnées des n points donnés, les eoc du centre de gravité de ces n points sont multipliéi nombre k. En multipliant les trois coordonnées oA d'un point  par un même nombre i, on id coordonnées Ob\ Va\ ^k' d'un second pmnt sur la droite OA, à une dislance OA' du pmnt ( QAx I?. Par conséquent» la figure que l'on obtient i pliant par un même nombre les 3fi co^Krdonnées d donnés, est une figure semblable i la figure donnée
le rapport de aimilit coordonnées du oentn vite sont multipliées pai nombre ; donc le centn vite de la seconde fign point homologue du o gravité de la première, de$ figures semblables ( des points homologues i mêmes, ou variant d'une figure à Vautre dans un même les centres de gravité sont des points homologues (cf. g Remarque IL — Considérons séparément les deux pi équations. Elles Tont connailre les coordonnées X centre de gravité des points p^^ p,vP«9 projetés servant leurs poids sur le plan XOY. Donc le centre d delà projection cTtin système donné sur un plan est la pi du centre de gravité de ce système. Il en est de même de jcetion du système sur une droite: cliacune des éqi prise isolément, le démontre.
Fig. 143.
DE GIIAVIIË. W
169. Lorsqu'on a à déterminer le cenlre de gravité d'un sysIÈmc matériel continu, tel qu'un corps solide rciifennanl on nombre indéfini de molécules, les sommes précédentes se composent d'une inHnilé de termes, et se changent en intégrales. On peut procéder, pareiemple, de la manière suiïinle.
I SollA le solide donné; prenons trois axes rectangulaires, OX, OY,OZ. et décomposons le corps en éléments infiniment petits dans les trois sens, par une triple série de plans parai* Ulcs aux axes, menés à des lances infini ment pelîfes les ansdesautres. Tout élément a, saur ceux qui sont voisins de la surface terminale du corps, *l quon peut soit négliger, Milcompléter, sans altérer les sommes cherchées, a pour volume le produit (^Jifc/i; soitp 1g poidt de l'unilé de volume "« foint a, poids qui est con- ^'^' '**■
slant lorsque le corps est homogène, et qui est supposé connu en fonction des coorilonnécs x, y, z du point a, dans le Cas contraire. Le poids de rélément sera
«I par suite les coordonnées 5, ij, C du centre de gravité seront données par les trois équations :
[ Les limites des intégrations sont celles qui correspondent I ■ 'a suri'ace terminale du corps, de manière à prendre tous I 'es éléments matériels compris sous cette surface, et k ne Prendre que ces éléments.
On pourra commencer par intégrer par rapport I s, a laissant « et y constants. Les valeurs de « et ^ f défiidiMl un point m du plan XOY, éL une parallèle Mi i Pau OL Celte parallèle coupe généralement la anrfrce termîade k corps en deux points ^ et y» qui sont dtfnis par deuxulev ^ et 9^ de Tordonnée s; ces deux valeurs aont des fimctini connues, de « et de y. Les intégrales une fois faites s*q|iquent à la partie du système comprise dans l'élément priari^ tique ^, et ne contiennent plus qne les TariaUes « si |. Qp fjra la seconde intégration par rapport i y^ea traitaill comme une constante ; cela revient i faire Tarier y du poiÉf au point f , entre des limites y', y*, qui sont fonctions des khL Enfin, on intégrera par rapport i x la fonction résulMe^ entre les limites correspondantes aux parallèles lllm^ mi', nenées à Taxe OY, tangentiellement au contour de la projediii HN, c'est-à-dire entre deux limites constantes, aelb.Oùfei indiquer ces diverses opérations successives en écrivant ki équations sous la forme suivante : '
170. Des méthodes analogues peuvent être suivies pour di* terminer le centre de gravité d'une aire matéiîelle terminée! un contour donné, ou d'une ligne matérielle finie, terminiè en deux points donnés. S'il s'agit d'une surface plane, on
