DE GIL4T1TÉ
on cherche le centre de gravita' en bandes pt des plans parallèles infinimi'nl ruppiocliés, et on aura illire plusieurs quadratures, l'une pour obtenir la somme fesurCices élémentaires, les autres pour obtenir la somme ^produits de ces surfaces par leurs distances respectives ideptans, fixes. S'il s'agit d'une ligne, on la partagera en itroçons infiniment petits, et ou procédera de la même ■namùre.
I coordonnées du centre de gravité d'une surface rap-
J/pidrd.jv'
/J-pd^WyVl
SJf.y.lT.I,j^J
iif^-'vvi
JU^dxdy^
+ fl'
Hptei^la dérivée partielle, -j-, de a par rapport à
, et
il» dérivée, ^, par rapport a y. Les intégrales doubles sont
bilia au périmètre de l'aire dont il s'agit.
lîl. Prenons pour exemple la recherche du centre de gratitéfun triangle homogène, OAB (fig. 145).
fti point 0, abaissons OX perpendiculaire sur le côté AB du l^le, puis menons OY parallèle à ce même côté. Nous fWdrons pour aies les droites OX et OY. SoitOP = )i la dis- •■« delà base AB du triangle à l'origine 0. Prenons les mo- ■Wla par rapport à l'axe OY, ce qui nous fournira la vali;ur fciibscisse X du centre de gravité cherché.
four cela décomposons la surface du triangle en bandes, "•V, inQniment étroites, par une série de droites équi- *»l«nltt, menées parallèlement à Taxe OY. Vaire élémen- •w* de lune de ces bandes est exprimée par le produit ■■xdi, le fadeur dx représentant la disUnce des deux
i60 ceutrb
droites infiniment rapprochées mn^ mV. Or 0)i=i, et les triangles semblables Omn, OAB, nous donnent la prop(vtion
oii«
AB"OP"r
hx
On a donc mn^-r^b désignant la base AB. Prenant les moments par rapport au plan OT, il viendra
• sy (^)
Le centre de gravité du triangle OAB est donc situé survie
droite menée parallèlement à la basel^ aux deux tiers de la hauteur OP.
On peut prendre un autre cité 01 pour la base du triangle. La foronb s'appliquant encore, le centre se Irosvera sur une droite menée parallèlement à OB, aux deux tiers de la dislance du sommet opposé A a cette base:
ces deux droites se couperont aupoiol cherché. De là résulte la constnictioo suivante (fig. 1 46) :
Partageons chacun des trois côtés Ok^ AB, BOy en trois f»6f^
égales^ aux points bj , b, , pour le f^ mier, o^, o„ pour le second, a^etd^f^ le troisième; les indices sont distrihué^f"^ le périmètre du triangle en suivant cefirimètre dans un même sais. Cela f (MM trois droites b^o,, o^a,, a^b,, secouf^ en un même point G, qui est le centrait gravité du triangle.
11 est facile de reconnaître que ce point est le point decoo-
Fif. 145.
Fig. 146.
DE CRAVITË. »|
Trois médianes, ou des droiles menées de chacun , des «ommets eu milieu du côlé opposé; nous le démontrc- I iwidiroctemenHout à l'heure.
C£5T«e DE GIUTITfi DU TEUSHE DROIT HO)IOGÈ^E.
BT
ni SoitAB un prisme droit homogène, terminé en Aet B ifeui plans perpendiculaires à ses arôles. Le centre degra- T^ de ce prisme sera situé dans le plan MN mené à égale i^mce des plans des bases A et B.
Cflle proposition résulte immédiatement de la symétrie du tjilémepar rapport au plan MN. On peut aussi la vérifier en fe^mposant le prisme en une infinité d'éléments matériels irintnient petits, qu'on supposera sollicités par des forces panHèltt entre elles et au plan MN, et proportionnelles à leurs fais respectifs. On prendra ensuite les mo- •nlï lie ces forces par rapport à un axe fRltoDqne tracé dans le plan MN ; la somme ^moments sera nécessairement nulle, puis- (Kè chaque force appliquée à un élément pq Wespond une force égale et parallèle, appliquée à l'élément symétrique p'(f, et don- Qinl im moment égal en valeur absolue, mais it ligne contraire ; ces deux moments se tefuisent donc dans la somme. Le plan MN contient par continuent le centre de gravité cherché.
Ctlte conclusion est encore vraie pour un prisme droit ba honiogétie, pourra que ta dislribution de matière toU tymé- ^ftepar rapport au pûm moyen MN ; c'esl-à-dire pourvu que ^1 i-lèments égaux, pq, p'tf, également distants du plan MK, tnfennent chacun la même quantité de matière.
CœoLUiBE. — Le centre de granité d'un parallélépipède rec' ■*«)(( homoijène est A i interjection de tes trois diagonale*.
On peut en efTel considérer le parallélépipède redangle «Orne un prisme droit avant pour base une quelconque de
MS CE5TRB
ses faces ; le centre de gravité se trouTe donc k la fois dans les (rois plans menés parallèlement aux faces opposées, à égile distance de ces faces, c'est-à-dire an milieu des Iras i^ nales.
In rectangle matériel peut être considéré comme la lioiiie d'un parallélépipède rectangle dont une dimension décroitindéfiniment. Le centre de graviié iTun rectangle matériel km»' jeme est donc au point de rencontre de ses deux diagimala.
De même, une droite finie homogène peut être regardie oomme la limite d*un rectangle homogène dont une dioRBsun aonit été indéfiniment réduite; le centre de grartiitm inme finie hamogène est donc le wulieu de cette droite,
173. Eolin. a vi système matériel a un plan de symétrie^ a 'f'ptrd mmrseulement à ses formes et à ses dimensions géojkitnmes^ «MIS emeore à Im distribmiion des quantités de matihe ri- 'Htrnes entre ses diters élém^ntSy de telle sorte que dm êl' menis sgmé.rûptement placés renferment d'égales quanlltétk matière^ le centre de gravité d* système est situé dans le fk de npmétrie. Car ce système peut être décomposé en une i oité de prismes droits normaux au plan de symétrie, et les centres de gravité sont tous situés dans ce plan. Le centre Je gravitéde rensemble est donc aussi un point du même plan- Il en est encore de même quand le sysîéme a un plandwmétrai, c'est-à-dire un plan qui coupe en deux parties égate los droites de jonction des éléments correspondants pris deux à deux.
Corollaires, — 1* Le centre de gravité dune sphère bofflOgOne, ou formée de couches concentriques homogènes, est soû centre de figure.
:^ Il en est de même pour un ellipsoïde homogène. 3' Le centre de gravité d'un corps de révolution est silucsut *iHi axe.
V Le contre de gravité d'un cercle homogène ou d'une &- \\ff$<^ homogène est situé au centre de figure. U en est de ^a centre de gravité d*une circonférence homogène, on lèiro d'une ellipse*
DE CnwiTB. 3M
niers exemples inoiiiionl en tn?me loinps que le gravilé d'un système matériel peut Olrc un poinl i«c en dehors de l'espace occupé par ce syslémc, Idêrons par exemple le solide engendré par la révolatiaDd'un cercle antour d'une droite menée dans son plan en Wws de cfl cercle. Ce solide reçoit le nom de tore. Le centre ttfn^ilû d'un tore homogène est le centre du fore, c'est-àttslc pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle (te»leursur l'axe de révolution. Ce point est en dehors de T^iiscitrdu solide, yie centre de gravilé d'un polygone régulier homogène, fA «pie soit le nombre de ses cùlés, est le centre du cercle oRDnicrit au polygone.
■ atilRB DE Cr^vrtË DO TilU5CLE ET CES FOLTCOSES,
l'I. Soit ABC un triangle homogène. Pnrtagcons-Ie en infiniment minces, en menant une série de droites paau côté BC. Nous pouvons regarder l'une quelconque bandes, mm'n'n', comme un ^
inQnimcnt mince : ce rccleÈlanl homogène par hypothèse, iMiccntre de gravité est au point i, BlliirMclion de ses dîafîonales. A la linile, quand l'épaisseur du rectangle ievienl infiniment petite, le centre JtçniÀlè se confond avec le milieu de la dimension mn. r;,. ng.
Tons les milieux des droites paral- Wêî mn, inscrites dans le triangle, sont situés sur une même droite \D, menée du sommet A au milieu D du côté opposé. ^ le centrede gravité du triangle est donc aussi sur celte droite, at, pour l'ohtenir, il suffit de composer ensemble les poids iwp«tirs des bandes mm'.in'. appliqués aux milieux des
SOI CENTliB DB GRAYITÈ
diverses droites mn^ c'est-à-dire appliqués aux diOireots points de la droite AD.
On arrive plus simplement à ce résultat en observant ([ue la droite AB est un diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la base BC, et les trapèzes infiniment petits mm Vyi.
On connaît donc une droite AD qui contient le centre cha* ché ; pour achever la solution, on observera que le cente de gravité du triangle se trouve aussi sur la droite BE, mente du sommet B au milieu E du côté opposé. Il est donc situé an point G, intersection de ces deux droites.
On peut aussi avoir recours, pour achever la solution du problème, au principe de la similitude.
Prenons les milieux E et F des côtés AB, AC, et joignons ED, DF, FE. Nous partageons ainsi le triangle donné en quatre triangles égaux entre eux, AEF, FDE, FDD, EDC, et ayant par conséquent une surface égale au quart de la surface du trian-' gle total. Le point K, intersection des droites £F, AD, est le milieu de la droite FE ; prenons les milieux L et H des dens
parties BD, DC, de la base. Les centres de gravité des quatre triangles partiels seront respectivement sur les droites AK, DK, FL, EM. Mais dans deux figures homogènes semblables^ les centres de jrdvite sont des points homologues (§ 137 ^ Rem.). Soit donc G le centre de gravité du triangle total; appelons x la distance AG; pour avoir les centres de gravité des triangles partiels, il suffira de remarquer que ces triangles sont semblables au triangle totale
et que le rappport de similitude est ^. Soit AD = /. Le centre
de gravité g du triangle AFE sera situé à une distance Xg du oint A égale à ^ x.
Le centre do gravité g' du triangle EFD sera situé à une dis-
DU TRIANGLB. S65
laoce Dg" du sommet D de ce triangle égale aussi à ^ ; la dis-
tance A^ sera donc égale à / — ^x.
Les centres de gravité f, /'', des deux derniers triangles sont situés sur une parallèle à la base BC, qui coupe la droite AD en un point I, situé à une distance du point A égale à
AI + F;*, ou à^ + ^. Les poids de ces deux triangles se composent donc en un seul, égal à leur somme et appliqué au
point I.
{ Appelons S la surface du triangle donné ; j S sera la surface
de chacun des triangles partiels ; ces surfaces sont propor-
tinneUes aux poids, à cause de Thomogénéité de la figure.
Ainsi le poids S, appliqué en G, est la résultante du poids
2 appliqué en jf, du poids j appliqué en g^y et du poids ^ap-
pGqoéen L
Prenons les moments de ces poids par rapport au point A ; aoos obtenons l'équation
,xH-f+|x(.-|)+|(i+î)le facteur commun S disparait, et il vient
00 bien
ou enfin
ce que nous avions trouvé plus haut d'une autre manière «171).
SGO CENTRE DE GRAYITB
TBAPÈXE BOMOOÈNB.
175. Soit ABCD un trapèze homogène dont on demande le centre de gravité.
On reconnaîtra, comme pour le triangle, que le point cherché se trouve sur la droite KH qui joint les milieux R et II des bases parallèles. Menons ensuite la diagonale BD, et prenonsen le milieu I ; cette droite partage le trapèze en deux triangles DAB, BDC; le centre de gravité du premier triangle est c au point g, intersection des droites DR, AI. Le centre de gravite du second triangle est en ^^ à l'intersection des médianes BH, Cl. Le centre de gravité du trapèze est situé sur la droite gçf. Le point cherché est donc à l'intersection G des droites RII et gg\
176. Calculons la distance x du point G à Tune, AB, des bases du trapèze. Soit H la hauteur, ou distance des parallèles AB, DC; soient AB=ft, et DC = B, les deux bases. Les deux triangles ADB, DBC, ont même hauteur H; ils sont donc entre eux comme leurs bases h et B, et leur somme, c'est-à-dire le trapèze entier, est proportionnelle à ft-|-B,le poids total, ft-f-B, du trapèze, appliqué en G, est la résultante du poids h appliqué en jf, et du poids B appliqué en j'.
La distance de g au côté AB est -= i et la distance de g' au même
côté est = H ; le théorème des moments par rapport à l'axe AB
nous donne donc Téquation
Donc
(6-fD)x = 6x5+Bx|n.
n fr-H2B
