Bemaniue. — le poinl g, cenire degravîlô du triangle
ADB, csl silué sur la droite DN qui joint le sommet D au mi-
Kra M de la base ((îg. 15i), et le
«fmenl ^N est le tiers de la longueur totale DN de cette droite.
Nous pouvons partager le qua-
ériblère en deux triangles en me-
mxa l'autre diagonale AC; nous
«bliendrao$ ainsi deux centres '
4e gravité j", j/", aux tiers des
drûles Br, Dr, qui joignent les
MBunets B et D au milieu l' de celte
dttgonale. Le centre de gravité du ^'*' *^
quadrilatère sera situé sur la droite ff, et par suite il sera
m pcnnt G, intersection des droites g(f, (fg"', ou intersection
te diagonales du quadrilatère g^ij'<f'.
Mais le point g" est situé sur la droite CN, qui joint le sommet Cau milieu N de la base AB, dans le triangle CAB, dont le \aaAi csl le centre de gravité. N^' est le tiers de ?iC. La droile gf, joignant les tiers des deux droites ND, NC, est panllêleà DC, et égale ati tiers de DC. Par la même raison, la droites'/ ^st parallèle à AD et égale au tiers de AD; g'g" est paralR-le îi AB et égale au tiers de AB; ^'g est parallèle à BC et égale au tiers de BC.
Le quadrilatère gif^if' est donc semblable au quadrilatère A6Q), et semblablement placé; la similitude est inverse, le
rapport de similitude est ^. Le centre de similitude sera le
point de concours des quatre droites, qui joignent les points homologues Cg, Di/', B(/", Kg. Les diagonales du quadrilatère jg'g'g" se couperont mutueltemenl au cenli'e de gravité du qnâdtibtérc ABCD.
970 CENTRE DE GRitITÉ
CENTRE DE GRAVITÉ D*U2I POLTGOUE PLAN IKHIOCblE.
179. La recherche du centre de graYÎtè d'un polygone I homogène se ramène à celle du centre de gravite du triangle. ( Soit ABCDË un polygone d'autant de cdtés qu'on voudra. Koas ile supposerons convexe.
Par un sommet A, menons les diagonales AC, AD, qui piN f agent la surrace du polygone en n— 2 triangles, n étant b nombre des côtés. On peut mesurer la surface de chacun de ces n — 2 triangles; le centre de gravité de chacun d'eoi s*olilient en joignant le point A aux milieux 1, 1% 1%... des
côtés qui n'aboutissent pas à ce sommet, et en prenant les pointsG,6', C,... aux deux tiers, à partir du point A, des longueurs AI, AF, Ar. Ces points 6, G', G*, seront les centres de gravité des triangles. On peut observer qu'ils sort situés à la rencontre des droites AI, AT, AI',... avec un contour polygonal M« ^*« '^*- semblable au contour BCDE, et rédnil
dans le rapport de 5 à 2, en prenant le point A comme centre de similitude.
On supposera donc aux points G, G', G",... des forces parallèles uppliquôos, proportionnelles respectivement aux surfaces des triangles ABC, ACD, ADE, et on composera ces forces. Pour cela, menons par le point A dans le plan du polygone deai axes reclangulaires AX, AY. Appelons x^, y^, x„ y„ «„ j,,** les coordonnées respectives des points I, T, T,... milieux des côtés qui n'aboutissent pas au point A ; appelons Sp S„ S,,.- 4cs surfaces de chacun des triangles ABC, ACD, ADE, et 1,^1 les coordonnées du centre de gravité cherché. Lescoordon- 'nées des points G, G', G",... seront égales à
5*1.3^1; 3't' rjyt; s'i'syj;---
D'UN P^)LÏGO^E.
et nous aurons par suile les équations :
*~3 s, + S, + S, + ... ■ (XJfTVE DE OUTITË D'CKK LIGNE DROITE KON HOMOGÈNE.
!M. La recherche ducenire de gravité d'une droite finie MO homogène revient à la recherche de l'abscisse du centre degranlÉ d'une aire plane.
Sipesl la quantité de matière rapportée à l'unité de longueur, rontenue dans la droite au point M. le centre de gracié de la droite s'obtiendra en fiiisant la somme des produits pxNm el pXMmxAM, el en divisant la seconde somme pnUpremilïre. Élevons aux dîITérents points de la droite des ordoonécs AA', MM', BB', égales aux va- \eati correspondantes du facteur p en as points. Nous construirons ainsi uue courbe A'MTI', qui pourra être continue un discontinue, et dont l'aire élémcntnre Mmm'M' représentera le produit /xVm, ou la quantité de matière con- "'^' ""*
leBne dans l'élément Mm. La formule qui donne le centre de gniité de la droite AD, est donc identique à celle qui donne
Tibscisse du centre de gravité de la surface homogène ABB'A'. Supposons, par exemple, que le facteur p soit nul au point A,
rt iirie du point A au point B, pro- ^
portkmncllemenl à la dislance an
pabi A; alors la ligne dont les or-
dsonées représentent les valeurs
toccessives de p, al une droite AB',
rt le centre de gravité G de l'aire ^ '
ABfi'cst siluè aux deux tiers de la
ëtttance AB. II en est donc de même du centre de gravité (j de
b droite âB.
m CDITHB DB ORAUTl
Remarque. — Le centre de gratté d*un système de points ne change pas si on augmente ou diminue les poids de ces points dans un même rapport. Or, augmenter ou diminuer dans un certain rapport le poids p, qui wit d'un point à l'autre de la droite AB, cela retient à augmenter ou à diminuer dans le même rapport les ordonnées de la ligne A'B'; par conséquent les centres de gTa>ité de deux aires planes homogènes, dont les abscisses sont communes et les ordonnées proportionnelles, ont même absdsse. La même proposition a lieu quand les coordonnées sont obliques.
CEZITRI DE GRÀTrrÊ d'uR SBOnOIT PARABOUQUE.
181. Soit BAC une parabole, AX son axe, A son soouMlt AY la tangente au sommet. On demande le centre de grtnii de Taire homogène comprise entre la courbe et la droite lOft parallèle à AY.
L'équation de la courbe, rapportée aux axes AX, AT, est
Le centre de gravité cherché est sur l'axcAÏ; il suffit de trouver son abscisse $. Elle sert donnée par l'équation
S^yxdx __ Jyxdx * J2ydx jydx
les intégrales étant prises entre les liflûte x=0 et x = AP. Soit AP = a.
Pour (aciliter les intégrations, prcûofls y pour variable indépendante. 11 vient
D'UN 5EGMEM DE PAItABOLË.
Leslimilcsdes intégrations sont ici y^O el î/=PM=v'2j)a-
par suite
4e gravité est donc situé sur AP à une distance '-4gale aux trois cinquièmes de la flèche AP du
Ce résultat s'applique à tout autre segment de parabole, rsméme que l'angle de la corde ÏIM' avec le diamiJlre conguë AP ne serait pas droit. Le centre de gravité du segment Uf'est en G, sur le diumétre AX conjugué
■cheAP mesurée sur ce diamètre. On peu
marquer que le point G, situé sur le diamè-
PAX, ne change pas de position quand on
forme le segment parabolique en Taisant
pmer d'un même angle toutes les ordon-
tesPM, autour de leur pied P. el qu'on les
nine il élre perpendiculaires à AX. On transforme ainsi le
^ent oblique MAM' en un segment M,:\M', qui a le même
lire de gravité, et dans lequel la droite AX est l'axe de la
brbc.
CLMRB DE GRiniÈ
CENTRE DE GRAVITÉ D*IJ1I SEGHERT DE CERaE.
