DT5 SEGMENT DE CERCLE
9gne de l'intégrale, et la prendre.entre les limites a et 0, ce qui revient à la prendre avec son signe entre les limites 0 et a: 3 but enfin la multiplier par R' :
Pour ? = «, rintégnle indéfinie devient ?« — Tsin3a» Pour f =sOy die derient 0.
La diflërence est ^ a — j sin 2a, qu'il faut multiplier par R On a donc
/srAr = îy-jR«sin2«,
lisoltat connu, car il exprime que l'aire, 2fydx^ du segment Ki, est la difTérence entre l'aire, R*a, du secteur BOCA, et
|ftire,| R*sin2«, du triangle BOC.
ayons encore à faire l'intégrale
[ii la prendre entre les mêmes limites, x = m, a;=R.
Oa lobtient facilement en prenant y pour variable indélltthnte.
Ea eOet,
Ifni nous donne xdx = — ydy.
Àooe
Jyxdx = ^Jy*dy = — -^^
ion qu'on doit prendre entre les limites î/=IB=v'U'— m* i=m, ety=Opouraî=R.
résultat est
nous avons posé m = R cos a , et par conséquent '— fii*=Rsina; l'intégrale définie a donc pour valeur
\t sin' a.
c'est-à-dire quand a = ic ; car alors le centre de gravii point 0 ; et c'est en effet ce que le calcul indique. Nous de plus avoir Ç=R pour a=0, puisque le segmeo duit au point A, qui est à lui-même son propre centre vite. Pour reconnaître ce résultai, remarquons que i un infiniment petit du premier ordre, sin' a est un inf petit du troisième, et qu'ainsi le dénominateur 6x— doit être lui-même du troisième ordre, pour que la ti la fraction puisse être un nombre fini. On a en effet, e loppant sin 2a en série,
et par suite
Gflc — Ssin 2a =3 ^-y — etc.,
les termes omis étant tous d'un ordre de petitesse soj au troisième.
On a donc
4 sin* g 4 sin* g .
6« — 3sinS«""(5îîî^ ^'
divisant haut et bas par a', puis faisant a=0 pour pasa limite, on trouve l'unité pour vraie valeur de la fraclioo.
On narvîpnf an m/^mp rAciilfaf on nronanf Iac Aànvi
D'UN AHG DE CEncLE.
t CRATITÉ D VV ARC DE CERCLE HOMOGÈNE.
183. Le ccnirc de gravilé G de l'arc homogène BG est situé nrla droite OA qui divise cet arc en deux pailies égales, à undisUDce Ç=:OG, qu'il s'agit de iiiammT.
SoilBOC = 2i, etOA = It.
bpoHlion des dirfcrenis points m kïuc BC sera définie par l'angle rfi=9, mesuré dans le sens Km à ptirdu milieu A de l'arc total. Cet •{le Mriora donc de — a à 4- a.
L'ircclèinentaire mn aurapour me- '^'
VttUi; il esl à la distance mp^IïcosO de Taxe OV élcvù ■ poinl 0 perpendiculairement à OA. Son moment par rapf«rtau plan profilé en Oï est R'cosCKfS, el par suite l'ab- Kœ { iju centre de gravité est donnée çav l'ëqualion
I U dénominateur n'est autre chose que la longueur de l'arc CiB lui-même. Représentons la par s.
ie numérateur /R'cosOdO est égal à R'sinQ, foncim 3 prendre entre les limites — o et -1-a, ce qui donne a di-Cnitive SU'sina, ou bien RxSRsina. Or 2Rsiiii *sl U longueur de la corde BC. Représentons-la par l. 0 Tiendra
U iatanu du centre de gravilé iTun arc de cercle au <nlrt de cet are e$t donc le qualrième terme de la proportion
.78 CENTRE DE GRATITË
dont les trois premiers sont la longueur de tarCj le rayon el la corde.
On peut aussi conserver à cette équation la forme primitive sous laquelle elle a été obtenue :
La recherche du centre de gravité de Tare de cercle homogène peut se rattacher à l'étude du mouvement circulaire uniforme projeté sur un diamètre fixe (I, g 56). Soit ACB un arc de cercle, dont le centre est au point 0;
le rayon OC divise Tare en deux parties n égales ; soit ab la direction d'un diamèln '\ perpendiculaire à ce rayon.
I Posons AOC=COB = a.
! Imaginons un mobile M parlant da
^ point A el parcourant Tare AB jusqu'au ^''^' *^*' point B avec une vitesse constante : soiti
la vitesse angulaire du rayon OM. Le mouvement de la projection m du point mobile M sera défini par Tëquation
en supposant qu'on compte les distances a; = 0m à parlirdû point 0, cl les temps t h partir de l'heure du passage du mobile au point C ; les valeurs négatives de x el de t correspondront au parcours de Tare AC.
La vitesse v du point m, est égale à
V = --7T =z Rqh cos w/ = uy,
en appesanti/ l'ordonnée Mm.
La vitesse moyenne (I, g 289) du point m dans le trajd^ est égale à la moyenne de toutes les vitesses v, ou au produH de (1) par la nioyeime de toutes les ordonnées y de l'arc hon»*' gène AB, ou enfin au produit wt/j de la vitesse angulaire p^ rordoniicc î/i = OG du centre de gravité Q de l'arc AB.
