DÉFINITION DU TRAVAIL, ET THÉORÈME DU TRAVAIL POUR UN POINT UNIQUE

106. Le thëorëme du travail virtuel résume toute la statique, et permet de faire rentrer toutes les conditions d'équilibre d'un système, quel qu'il soit, dans un seul et même énoncé.

Soit M un point matériel que nous supposerons d'abord entièrement libre dans l'espace. Ce point est sollicité par une force F, dont la direction et l'intensité sont connues. Le point M, qui est mobile» subit un déplacement infiniment petit, MM% dont la direction ne coïncide généralement pas avec la direction de la force F. Projetons le déplacement MM' sur la direction MF. Nous obtiendrons pour projection une longueur infiniment petite , Mm , qui sera le déplacement élémentaire du foint estimé suivant la direction de la force F. Gela posé, on appelle travail élémentaire de la force F le produit F x Mm de la force par le déplacement projeté, ce produit étant pris avec le signe -i- si la projection du déplacement a la même direction que la force, ou si l'angle M'MF est aigu (fig. 99), et avec le signe — - si elle a une direction contraire, ou si

164 TRÂYAIL

TangleM^MF est obtus (fîg. 100). Le travail élémentaire est nul si le déplacement MM' est normal à la force F. Si Ton appelle ds Tare MM' décrit par le point mobile, F la force, et 9 Tangle M'HF des deux directions MM' et MF, le travail élémentaire sera représenté en grandeur et en signe par le produit

Fig. 100. Frf«C0Sf,

produit positif si Tangle 9 est aigu, négatif s'il est obtus, et nul s'il est droit.

107. Lorsqu'un point M, libre ou non, parcourt une trajectoire AB, et est sollicité à chaque instant par une force F, variable en direction et en intensité, on appelle travail total de la force F, correspondant au passage du point mobile de la position M à une autre position M^ la somme des travaux élémentaires que Ton obtient en décomposant Parc parcouru MM^ en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites MM', M'M', M"M"",... égales ou inégales.

Soient F, F', F% F'",... les forces F»«- *o*- successives, données en grandeur et

en direction, qui sollicitent le point mobile pendant qu'il décrit chacun de ces éléments, et Mm, M'm', M'm',... les projections, sur les directions des forces, des éléments de chemin décrit ; le travail total de la force variable est la somme

FxMifH-F'xM'm'+F'xM»m«'+...

étendue à tous les éléments de Tare MM^, ou plutôt c'est la limite vers laquelle tend cette somme, lorsque le nombre des parties MM', M'M'',... augmente indéfiniment. C'est donc l'intégrale

j;''facos,.

prise le long de la courbe, entre les points M et Mp