P X 1IM'+ F X M'M» -H P X M''M

it>6 THÉORÈME

prise entre les mêmes limites, M et M^. Dans cette seconde somme, P, F, P, .. . sont les composantes tangentielles des forces F, F', P,.-- prises avec les signes que nous avons définis.

Construisons (fig. 103) une courbe dont les abscisses Opi, 0\tfy.,., 0[f.^ soient respectivement égales aux arcs de la trajectoire AM, AM',.,., AMj, comptés à partir d'un point fixe A, et dont les ordonnées correspondantes |i.cr, (aV,..., {ji^cr^, soient égales aux composantes tangentielles MP, MT',..., M^P^ des forces sucx^essives F, F',...,Fj. L'aire de cette courbe est la limite de la somme

dont les termes sont égaux respectivement à

PXMM', P'XM'M^ P^xM-'M'^',...

et par suite l'aire de la courbe, comprise entre les ordonnées (Acr, (A^er^, est égale au travail total cherché. Nous avons, en effet, pour mesure de cette aire l'intégrale définie

|i fi' it- li- it^ X f ^Fdsoosf,

Fig. 103. *»

s^ et 8^ désignant les limites Oia, 0[ji^, de l'intégration. Il est facile de reconnaître que cette égalité est générale, pourvu qu'on observe les conventions relatives aux signes des composantes P et des arcs ds.

Si la force F était en tous points normale à la trajectoire, les composantes tangentielles P seraient constamment nulles, et le travail total serait égal à zéro.

110. Lorsqu^un point est en équilibre, on appelle travail virtuel d'une force appliquée à ce point le travail élémentaire de cette force pour un déplacement infiniment petit, attribué fictivement au point. Le théorème du travtnl virtuel consiste dans renoncé suivant : Pour qu'un système matériel quel^

DU TRAYAIL VIRTUEL 167

conque sait en éqiulibret il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces^ intérieures et extérieures^ qui soUieitent ce système^ soit égale à zéro, pour tous les déplacements infiniment petits qu on peut Im attribuer.

Les lois de l'équilibre que nous avons établies dans les chapitres précédents sont toutes comprises dans cet énoncé. Il fout, avant de démontrer le théorème, poser plusieurs lemmes préliminaires.

TRAVAIL ÉLÉMENTAIRE DE LA RÉSULTAIiTE DE PLUSIEURS FORCES.

m. Le travail élémentaire de la résultante R de plusieurs forces F, F\ F",... qui soUieitent un même point matériel M, est la somme algébrique des travaux élémentaires correspondants à chaque composante considérée seule.

Projetons toutes les forces F, V\ P,... sur la direction du déplacement infiniment petit, MM\ du point mobile, et soient P, P', P*',... les composantes tangentielles de ces forces prises avec leurs signes. La somme algébrique des travaut élémentaires des forces sera (§107)

PXMM'+P'XMM'+P"XMBI'+...,

ou bien

(P-4-P'+P''...)xMM'.

Mais la somme algébrique P -h P'-f-P -h... des projections des forces F, F', F',... sur la direction MM\ est égale en grandeur et en signe à la projection de leur résultante R; le produit obtenu est donc égal au produit de la composante tangcntielle de la force R, prise avec son signe, par le déplacement MM', c'est-à-dire au travail élémentaire de la force R.

112. On démontrerait d'une manière analogue que, n Von décompose, d'une manière quelconque. Vêlement MM' de chemin décrit en plusieurs éléments composants j le travail élémentaire iune force R est la somme algébrique des travaux élémentaires

TRAVAIL DE Li RÉSULTANTE

de cette force correspondants à chacun de ces déplacements^ considéré seul.

Cette proposition rentre même dans la prëcédente, car celleci n*est autre chose qu*un théorème de géométrie pure ; or rien n'empêche de prendre la droite finie qui représente la force pour le déplacement imprimé au point mobile, et la droite finie MM' pour représenter la force. La proposition précédente devient alors applicablCi et la nouvelle proposition s'en déduit en restituant aux divers facteurs leur véritable signification.

113. Plus généralement, si Ton décompose la force R, qui sollicite le point matériel, en un certain nombre de compo* santés, F, F', F'',... et le chemin élémentaire décrit, MM\ en un certain nombre de chemins composants, ck, ds\ rf^,.-9 1^ travail élémentaire de la force R est la somme algébrique de tous les travaux élémentaires que Ton obtient en combinant successivement chacune des forces F, F', F",..,, avec chacun des chemins composants ds^ ds% d^,...

Supposons que le point mobile M soit rapporté à trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ.

Décomposons la force R qui lui est appliquée, en trois composantes, X', Y', 1\ parallèles aux axes. Soit MM' le déplacement infiniment petit imprimé au point ; décomposons-le de môme en trois déplacements parallèles aux axes, Mn, nm, niM'. Le travail élémentaire de la force R pourra s'obtenir en considérant successivement les neuf combinaisons suivantes :

X' et Mn, V et Mil.

Z' %t Hn,

X' et nm^ Y' et wm, V et nm,

X' et mM'.

r et mM', V et mM',

Fig. 104.

et en faisant la somme algébrique des travaux correspondants. Mais le déplacement Mn est perpendiculaire à la fois aux forces Y'etZ'; le déplacement nm est perpendiculaire aux forces X' et Z' ; enfin le déplacement mM' est perpendiculaire aux forces X'et Y'. Les