TSE"" CM
PxMm = PxCExï|'.
P X CE est le produit de la projection P de la force F sur un
pian normal à l'axe de rotation, par la distance de la force P
ou de la force F à Taxe; c'est donc le moment de la force F
MM' par rapport à Taxe AB (§41). Le rapport -jx: est la mesure de
l'angle M'CM, décrit par le système invariable ; c'est, en d'autres termes, le déplacement angulaire du système. On a donc ce théorème :
Le travail élémentaire d'une force appliquée en un point d'un corps solide auquel on imprime un mouvement infiniment petit de rotation autour d*un axe, est égal au produit du moment de la force par rapport à cet axe^ par le déplacement angulcnre du corps.
Ce théorème est général, moyennant qu'on donne les signes convenus au moment de la force et au déplacement angulaire.
ÊQlilUBRE DU POINT. 111
THÉORÈME DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN POINT MATÉRIEL UiaQUE.
il5. Soit M un point matériel libre dans Tespace, et sollicité par des forces F, F', F*', ... données en grandeur et en direction.
Si ce point est en équilibre, la somme des travaux élémentaires des forces F, F', F", ... pour un déplacement quelconque MM' du point, sera nulle. Nous savons en effet que la somme des travaux élémentaires de ces forces est égale au travail élémentaire de ia résultante R ; or la résultante R est nulle par hypothèse. Son travail élémentaire est égal à zéro ; il en est donc de même de la somme des travaux des composantes.
Réciproquement, si la somme des travaux élémentaires des forces F, F', F% ... est nulle pour tout déplacement du pointi le point est en équilibre.
En effet, on peut remplacer la somme des travaux élémentaires des composantes F, F', F', ... parle travail élémentaire de leur résultante R; ce travail étant nul, ou bien la force R est nulle, ou bien elle a une direction perpendiculaire à l'élément MM'. Mais il en est ainsi pour tout déplacement du point, et la direction de MM' est arbitraire. La direction de la résultante devrait donc être normale à toutes les lignes qu'on peut mener par le point M, ce qui est impossible. Donc R = 0, et le point est en équilibre.
Traduisons analytiquement ces conditions; nous retrouverons les trois équations d'équilibre posées dans le § 22.
Soient X, T, Z, les composantes de la force F, parallèles à trois axes rectangulaires ;
X', Y', 1\ les composantes de la force F' ;
X", Y', Z', les composantes de la force F', etc.
172 TflËORËHB OU TRAVAIL VIRTUEL
Décomposons aussi rëlément MM' = ^ parallèlement aux mêmes axes, et soient Sx, Sy, i%^ ses composantes ^
Le travail élémentaire de la force F sera égal à lix -h Yay + li»; le travail de la force P, à JUx -h Yly -H l'cz; le travail de P, à X*^ 4- Y'Sy 4- Z''8», etc., et la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données sera égale à
Cette somme doit être identiquement nulle, quel que soit le déplacement MM', c'est-à-dire quelles que soient les projections &r, Sy, 1%, de ce déplacement sur les trois axes. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les facteurs de Sx, de tijj de S2, soient séparément nuls, ou bien que
Ce sont les trois équations d'équilibre d'un point matériel libre dans l'espace.
Les quantités Sx, Sy, S2, sont des quantités auxiliaires infiniment petites, qui doivent rester arbitraires dans toute la suite du calcul, et qui disparaissent du résultat définitif.
116. Considérons un point matériel M, assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe. S, et sollicité par des forces données F, F', F*, ....
Nous pouvons regarder ce point comme libre en joignant aux forces données la réaction normale inconnue, N, de la surface. Le point devenu libre pourra recevoir des déplacements dans toutes directions autour de la position M qu'il occupe. Mais, parmi ces déplacements, considérons seulement ceux qui sont compatibles avec les liaisons du points c'est-à-dire ceux qui
' On emploie la caractéristique i pour représenter les déplacements virtuels et leurs projections sur les axes, en réservant la caractéristique d pour les déplacements réels. On verra en dynamique l'utilité de ce changement de notation.
