ÉQUILIBRE DU POINT

ceux-là, le travail de la réaction est nul ; les autres sont dirigés en dedans de la surface, et pour ceux-là le travail de la réaction est positif. Le point matériel peut encore être considéré comme libre, pourvu qu'on remplace la surracc par une réaction équivalente. La somme des travaux élémentaires de toutes les forces qui le sollicitent est nulle pour tous les déplacements qu'il peut recevoir. Donc la somme des travaux des forces données est nulle pour les déplacements qui se font le long de la surface, et elle est négative pour les déplacements dirigés vers l'intérieur ; car on doit obtenir zéro en ajoutant à cette somme le travail positif de la réaction qui complète réquilibre.

Ainsi l'équilibre n'exige pas toujours que la somme des travaux élémentaires des forces données soit nulle pour les déplacements compatibles avec les liaisons. Lorsqu'on laisse de côté certaines forces, comme ici la tension du fil, il est possible que la somme des travaux des forces que Ton a prises à part soit différente de zéro' pour certains déplacements; il faut alors et il sufBt que cette somme soit négative. Ce cas particulier ne se présente jamais lorsque les liaisons permettent de changer à la fois le sens de tous les déplacements ; car ce changement de sens entraine un changement du signe des travaux des forces, et par suite la somme des travaux, si elle était négative pour un déplacement particulier, redeviendrait positive pour le déplacement contraire ; l'équilibre ne serait donc plus assuré. Qu'on reprenne l'exemple simple que nous venons de traiter, et Ton reconnaîtra que la somme négative correspond en effet à des déplacements virtuels pour lesquels le changement de sens n'est pas admissible, tandis que la somme nulle correspond à des déplacements qui peuvent s'opérer le long de la surface dans un sens ou en sens opposé.

RÈGLE DB TSCHIRNHAUSEN. 177

APPUCATlOIf DU THÉORÈME DU TRAVAIL VIRTUEL A LA REGHERCnS DES NORMALES A CERTAINES GODRBES.

119. Soient A, B, G, ... des points fixes; considérons un point mobile M, dont les distances MA, MB,MC, ...à ces points fixes soient liées entre elles par une équation donnée. Posons, par exemple, MA= r, MB = i**, MC = r^, ... et soit, entre toutes ces distances, la relation

Cette équation définit en général une surface dans l'espace et une ligne sur le plan. Les coordonnées r, r\ r', ... ne sont pas indépendantes; cardés qu'on donne, dans l'espace, les trois distances MA, MB, MC, la position du point M est déterminée, et les autres distances s'en déduisent.

Sur le plan, deux distances suffisent pour définir la position du point, et les antres en sont des fonctions, qu'il serait facile de déterminer.

Proposons -nous de mener au rig. los

point M la normale au lieu géométrique des positions du point mobile. Pour fixer les idées, nous supposerons que ce lieu soit une surface S, représentée dans l'espace par Tèquation (1 ).

Prenons sur la surface S un point M' infiniment voisin du point M; joignons M'A, M'B, M'C, ..; ces distances seront représentées respectivement par r + dr^r'-^'dr^^r^'hdr^, ..., et les différentielles dr^ dt^, dr"^ ... seront respectivement égales aux projections Ma, Mp, My, ... de Tare MM' sur les directions des rayons MA, MB, MC, ..., afiectées chacune du signe convenable. On aura d'ailleurs, puisque le point M' appartient au lieu géométrique des points M,

V^-hdr, r'-h<ir',r"H-dr"....)=0,

n. ^ Mie. COLLMXOX, iS