RÈGLE

OU bien

Considérons une force appliquée au point M dans la direc-

dF dF

tion MA et égale kj-ile produit ^ dr est le travail de cette

dF force quand le point M passe de M en M'. De même -p dr^ est

dF le travail élémentaire d'une force égale à ^ , appliquée au

point M, et dirigée de M vers B ; chaque terme de l'équation (2) représente ainsi le travail élémentaire d'une force égale à Tune des dérivées partielles de la fonction F, et cette équation, indiquant que la somme des travaux élémentaires de toutes ces forces est nulle, montre en même temps qu'elles se font équilibre sur un point assujetti à la liaison (1). Donc leur résultante est ou nulle, ou normale à la surface S.

On construira donc la résultante des forces -r , -j-,, t^^ ...,

dr dr dr'^

respectivement portées sur les rayons MA, MB, MC, ... ; et «i

le polygone des forces ne se ferme pas de lui-mime j la résultante

qui le fermera sera la direction de la normale cherchée.

Tel est renoncé de la régie connue en géométrie sous le nom de règle de Tschimhausen. Elle s'applique aussi bien aux lignes dans le plan qu'aux surfaces dans l'espace. Elle subsiste encore quand on remplace quelques-uns des points A par des surfaces (par des lignes dans le plan), auxquelles le rayon correspondant, MA, soit assi^yetti à rester normal.

Exemples. — 1* Ellipse.

L'équation bipolaire de l'ellipse rapportée à ses foyers est

La fonction F est ici r H- r' — 2a.

Donc

Prenons donc sur MA = r une longueur arbitraire MG, et

DE TSGHIRUHAUSEN. «79

sur MB =1^ une longueur MD=MC; achevons le losange MCED. La diagonale ME, bissectrice de Tangle AMB, est la normale cherchée.

2* Section eomque rapportée à un foyer B et à tm^ directrice CD.

Soit

L'équatiot) du lieu est Donc

rfF

Sur le rayon MA prenons une longueur arbitraire ME; puis sur le prolongement de MB prenons MF = M£xK; achevons le parallélogramme, et menons la diagonale MG; œ sera la normale cherchée.

Si Ton prend ME = MB, on aura

Nous avons vu en cinématique (§ 85) que la tangente au lieu s'obtenait en joignant le point M au point T, intersection de la directrice avec la perpendiculaire BT élevée au point B sur le rayon MB. L'angle GMT est donc droit,

5"" lieu géométrique représenté par Inéquation

rapporte à deux pôles A et B.

Fig. 110.

df

Prenons sur le prolongement de MA une longueur MC = MB,

ISO