ADDITION

fils on attachera des poids P, P\ P, dont on pourra faire varier la valeur. Avec quelques tâtonnements, on parviendra à établir l'équilibre. Cet état une fois obtenu, le corps M sera sollicité par trois forces (on fait abstraction ici du poids propre du corps H et des fils, qu'on suppose négligeable) ; ces trois forces sont les tensions T, T\ T* des fils, égales respectivement aux poids F, P', P. On observera que les trois forces agissent dans un même plan; on pourra en reporter la position sur une feuille de papier, et la construction du parallélogramme sur tes forces T et T' donnera pour résultante une force égale et contraire à T*.

COMPOSmON DES FORCES APPUQUÉES k UN MÊME POUïT DANS UN MÊME PLAN.

26. Soient F, F\ ... des forces appliquées au point 0 dans le plan du papier; appelons a, a%... les angles qu'elles font avec la partie positive OX de Taxe des x ; les compléments 5 — a, ^ — a',.. .seront les angles des forces axec Taxe OY, et la résultante R de ces forces aura pour composantes, suivant OX, la somme

Fcosa+F' cosa'+ . . .,

et suivant Paxe OT, la somme

. FMn«+F'siiia'+....

Appelons X l'angle de la résultante R avec Taxe OX, nous aurons

Rcos jL=Fco6a+F' cosfle'+ .. . =:SFcosa, &sin;L=Fsiiia+F'sina'+...=£Fsina.

Multiplions la seconde équation par v' — 1, et ajoutons ; il viendra

R(cosA+^^8ini)=2F(cos*-f-V^^8ma).

Fig. 19.

DE NOMBRES IMAGINAIRES. Si

Donc le nombre imaginaire R (cosX + \f—i sinX) est la somme algébrique des nombres imaginaires F (cos a -h \/ — 1 sin a) .

F est le module, a Vargument du nombre imaginaire F(co8aH-V — Isina), qui représente à la fois la grandeur et la direction de la force F; de mëmeR et X sont le module et l'argument du nombre imaginaire R (cos X + v^ — 1 sin X), qui représente à la fois la force R en grandeur et en direction. L'addition des nombres imaginaires correspond donc à la composition des forces appliquées à un même point dans un plan.

27. l'analogie de l'addition algébrique et delà composition des forces a conduit certains auteurs à adopter des définitions et une notation nouvelles, que nous allons faire connaître.

Dans son sens primitif, la somme est le résultat d'une addition de nombres absolus, ou de quantités deméme nature. Telle est la êomme arithmétique. En géométrie, on obtient la somme de plusieurs longueurs en les portant bout à bout sur la même droite.

L'introduction des nombres négatifs dans le calcul a permis d'étendre cette définition : on a appelé somme algébrique le résultat de l'addition de ces quantités prises chacune avec son ugne. En géométrie, le signe d'une longueur s'interprète par le sens dans lequel elle doit être portée ; la somme algébrique de plusieurs longueurs réelles se fera donc en portant bout à bout sur une même droite des segments égaux à ces longueurs, dans un sens si elles sont positives, en sens opposé si elles sont négatives ; la somme cherchée est la longueur comprise entre le point de départ et le point d'arrivée, prise avec le signe convenable.

Dans ces deux opérations, on peut regarder la somme obtenue comme la résultante de forces appliquées suivant la même droite, et représentées, en grandeur et en sens, par les longueurs données, prises avec leurs signes. Il en est de même, comme nous venons de le voir, de l'addition des nombres imaginaires, pourvu que l'on convienne de regarder la partie réelle et le

Si SOIME GÉOMÉTRIQUE.

coefficient de ^ — 1 comme les composantes rectangulaires d'une force représentée par le nombre imaginaire donné.

On peut, par une nouvelle extension, appeler somme géométriqtie de pludeurs quantités a, fr, e, ... représentées en grandeur et en direction par des droites issues d'un même point 0, et dirigées comme on voudra dans l'espace, la résultante S de ces quantités, composées à la façon des forces ou des vitesses; on indique l'opération de la composition par la notation

s=fl+ï+c4-....

De même, la différence géométrique de deux quantités a et fr est la somme géométrique de la quantité a et de la quantité b changée de sens; ce qu'on exprime par l'une des notations

Sr=a — ï = fl-{- (—1),

— b désignant une quantité égale à fr, mais dirigée en sens contraire.

La différentielle géométrique d'une quantité variable Oa est l'élément infiniment petit aa\ qui, composé avec Oa, donne en grandeur et en direction la valeur infiniment voisine Oa' de cette quantité variable. Par exemple, la vitesse acquise élémentaire, jdtj est la différentielle géométrique de la vitesse v ; car, composée avec v, elle donne la vitesse suivante, v + rfv, en direction et en grandeur (1, § 91).

Nous ne ferons pas usage de ces dëûnitions, et nous continuerons à nous servir des mots composition^ résultante, au lieu des mots équivalents A^addition géométrique et de somme géométrique.

On a introduit dans le langage une autre expression, celle de produit géométrique de deux lignes, dont nous ne nous servirons pas davantage. Le produit géométrique de deux lignes est le produit des longueurs de ces lignes par le cosinus de l'angle qu'elles font entre elles, ou le produit d'une des longueurs par la projection de l'autre sur la première. On pourra dire, par exemple, en se servant de celte définition, que dans tout triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des canes