RÈGLE

et sur le côte MB une longueur MD=MBxK=MA; achevons le parallélogramme CMDE. La diagonale ME est la normale au lieu des points M.

On remarquera que le triangle HDE aTangle MDE = AMB, que le côté DE = MC = MB, qu'enfin DH=ÂM.

Ce triangle est donc égal au triangle AME, et rangle EMD est égal à Tangle MAB. 11 en résulte que les deux triangles OHA, 0MB, sont semblables, car ils ont un angle commun 0, et 1 angle BMO égal à MAO. On a donc la série de rapports égaux :

0B ÎIB 1 M0"'îrÂ""K'

|IO MB i A0""MA""K*

ng. 111.

Donc

équation qui montre que le point 0 est fixe sur la direction ABy et que, par suite, le lieu des points M est une circonférence (I, ê 8*)-

4* lieu géométrique des points M tels, qu'en faisant MA=r, MB=rS et appelant fy /", h des quantités constantes, on ait

On peut simplifier cette équation

en rapportant les distances du

point M à des circonférences fixes

décrites autour des pâles A et B

Fig. iiî. comme centres.

Chassons les dénominateurs, puis divisons par h:

DE TSGHIRNHÂUSEN. ISl

Ajoutant de part et d'autre ^ • il vient

Des points A et B, comme centres* avec des rayons

AC = ~ , BD = 'n t décrivons des cercles qui coupent en G et D

les rayons vecteurs; Tëquation du lieu sera

MCxllD=^ = ACxBD,

00 bien

en appelant p et p' les dislances du point M aux circonférences AG, BD.

Appliquant la règle de Tschimhausen à cette nouvelle équation, on aura

On prendra donc sur MA une longueur ME=MD, et sur MB une longueur MF=MC, et construisant le parallélogramme sur ces deux longueurs, on aura la normale MN.

AFPUCATIOIf DU THÉORÈME DU TRAVAIL VIRTDEL A LA RfeOLUTlOM DE CERTAINES QUESTIONS DE MINIMUM.

420. Soient (fig. H5) A et B deux points fixes, et CD une droite qui les laisse de dilTérents côtés de sa direction. La figure est supposée plane.

On propose de trouver sur la droite CD un point M tel qu'enjoignant HA, MB, la somme

MAXa + MBxfr

soit minimum, a et b étant des nombres donnés. Supposons le problème résolu et soit M le point cherché.

18^ APPLICATIONS AUX PROBLÈHES

Prenons un point H' infiniment voisin du point M. La fonction MA x-a + MB xb passant par un minimum au point M, la différence

[M'Axa+M'Bx6]-[IIAxa + MBx61

est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Nous pourrons donc poser, en négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres plus élevés,

{M'A-.MÀ)XaH-{M'B — MBjX^-O.

Projetons le point M' en a sur le rayon MA et en ^ sur le rayon MB; nous aurons, avec la même approximation,

M'A — HAs=A«— MA=— Ha,

M'B— MB » 6^- VB= + M|3.

La condition du minimum s*exp**'me donc par Téquation

Sous cette forme, on reconnaît qu'elle exprime l'équilibre de deux forces égales respectivement à a et à b, appliquées à un point M assujetti à glisser sans frottement sur la ligne CD, et dirigées l'une suivant MA, l'autre suivant MB; car axMa est le travail élémentaire de la force a, et — frxM^ est le travail élémentaire de la force b. L'équilibre existant, la résultante des forces a et A est normale à la droite CD (§ 117). Telle est la condition géométrique du minimum.

Au point M menons la normale NN^ à la droite CD, et soient f et / les angles AMN, BHM' formés par les rayons MA, BOB avec les parties MN et MN' de la normale. L'équilibre des forces a et b pourra s'exprimer par l'équation

car cette équation montre que les forces a et b se détruisent en projection sur la droite CD ; leur résultante se réduit donc à la différence, a cos f — ft cos f\ de leurs composantes normales.

DE MINIMUM OU DE MAXIMUM. i85

La condition du minimum s'exprime ainsi par Tëquation

siny' a

sin^ ""6*

Pour déterminer la position du point M, projetons A et B en A' et B\ sur la droite CD, et faisons AA'=:m, BB' = n, B'A'=p, quantités connues. Posons de plus B'U^zx; on en déduit MA'=p — âs. On a d'ailleurs

^ MA ^jp;c)t^.«t

8in^'= *

L'équation dont on devra tirer x est donc

Elle est du quatrième degré , mais elle a nécessairement une racine réelle et une seule, comprise entre 0 et p : c'est celle qui répond à la question.

On remarquera l'analogie du résultat obtenu avec les lois de la réfraction de la lumière : l'équation

exprime la constance du rapport entre le sinus de Vangle de réfraction et le sinus de Y angle d^inddence^ pour un rayon lumineux qui irait du point A au point B en traversant deux milieux difTérents, séparés par la surface CD. La signification de ce rapport est d'ailleurs différente, suivant qu'on adopte la théorie de Newton, ou celle de Huygens et de Fresnel.

Nous retrouverons l'application du même principe dans la dynamique du point, dans l'équilibre des lignes funiculaires, etc.

121. Nous allons démontrer qu'inversement le problème de réqtiUtbre d^un point unique^ assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe^ ou sur une courbe fixe^ peut se ramener, en

184 APPLICATIONS AUX PROfiLËMES

général^ à la solution (Tun problème de minimum ou de maximum.

Supposons d'abord qu'il s'agisse d'un point glissant sur une surface.

Les équations d'équilibre sont, en appelant X, T, Z, les sommes des composantes des forces qu'on suppose exprimées en fonction des coordonnées Xy y, % du point mobile, et en représentant par F=0 l'équation de la surface donnée,

F = 0 et X^a:4-Y*y + Z53 = 0.

Si Xîx + Yîj + Z8» est la différentielle exacte d'une fonction 9 de Xj y y Zy ou si la multiplication par un facteur convenable rend cette fonction une différentielle exacte, la condition d'équilibre exprime qu'au point cherché l'intégrale de cette différentielle est maximum ou minimum, sauf certains cas exceptionnels.

Lorsque X&r-h Yît/ + ZS« n'est pas une différentielle exacte, et ne peut le devenir par la multiplication, on peut remplacer dans cette fonction % et Iz par leurs valeurs en x, y, to, 8t/, déduites de l'équation F^Ô; la condition d'équilibre est alors ramenée à une équation de la forme X^îo; -h Y^îy =0, qui ne contient plus que deux variables, et qu'on peut toujours intégrer en la multipliant par un facteur convenablement choisi. La condition d'équilibre revient donc encore à exprimer qu'une certaine fonction 9 des variables x et y est, sauf exceptions, minimum ou maximum au point cherché.

Quand le point est assujetti à glisser sur une courbe, il peut se faire encore que X&c-f-Y^y + ZS^ soit une différentielle exacte, ou le devienne quand on la multiplie par un facteur X; et alors la fonction 9 = /X(Xîx-f-YSi/-hZ&s) passe généralement par un maximum ou un minimum pour la position d'équilibre. S'il en est autrement, on pourra toujours^ au moyen des deux équations de la courbe, F=0, ¥^=:0j exprimer y et 2 en fonction de a;, et ramener la fonction \ix -h Y8y H- Ziz à ne contenir qu'une seule variable x. La quadrature pourra alors s'effectuer, et la fonction ainsi obtenue