POUR UN SYSTÈME INVARIABLE

A devenu fixe; le point B est assujetti dans ces mouvements à rester à la surface d'une sphère donl le centre est en A, et dont le rayon est AB. Le travail de la force F est nul pour tous ces déplacements, puisque le point A reste fixe; le travail de la force P est donc aussi nul, et par conséquent la force F' est normale aux chemins décrits par le point B, c'est-àdire normale à la sphère sur laquelle ce point se déplace ; la direction de la force F' coïncide donc avec la direction AB du rayon de cette sphère. Ou prouverait de même, en considérant des déplacements sphériques autour du point B, que la force F agit suivant la direction AB* Donc les deux forces F et P sont appliquées suivant une seule et même direction. Considérons en troisième lieu un déplacement parallèle à cette direction commune ; la somme algébrique des travaux des forces F et F' sera égale au produit de leur somme algébrique F+F' par ce déplacement; elle est nulle par hypothèse, et par suite F -h F' =0, ce qui nous montre que les forces F et F' sont égales en valeur absolue, et dirigées en sens contraires. Le système des forces appliquées au corps solide se réduit donc à deux forces égales, opposées et appliquées suivant la même droite^ et par suite (g 85) le solide est en équilibre,

ÉQUATIONS d'équilibre d'uN STSTÈHE INVARIABLE.

127. Les équations d'équilibre posées (g 76) ne sont que des applications du théorème qui vient d'être établi.

Premier cas. — Considérons un solide libre dans l'espace et sollicité par certaines forces : appliquons à ce système le théorème du travail virtuel.

Imprimons d'abord au solide une translation infiniment petite parallèle à une droite quelconque AB, et soit e la longueur du déplacement, qui est la même pour tous les points. Pour trouver le travail des forces appliquées au corps, 0 sufGra de les projeter sur la direction du chemin décrit (g 106), ou, ce qui revient au même, sur la droite AB; on

192 ËQUATIONS

donnera aux projections les signes convenables, puis, on multipliera les projections par le chemin s, et on fera la somme. Le résultat sera égal au produit de e par la somme algébrique des projections des forces sur la droite AB;

Me

le théorème du travail virtuel nous

^rd

apprend donc que lorsqu'un système ^' solide est en équilibre^ ta somme algé-

brique des projections des forces sur une droite AB quelconque est égale à zéro.

Faisons ensuite tourner d'un angle infiniment petit a le système solide autour d'une droite PQ ; le travail de chaque force correspondant è ce déplacement s'obtiendra (g 103) en multipliant par a le moment de la force par rapport à l'axe PQ ; la somme des tra-

^ vaux élémentaires sera donc égale au produit

'^^'■"'- — i* par a de la somme algébrique des moments; or elle doit être nulle quel que soit a, en vertu du théorème. Donc lorsqu'un système solide est Fig. 120. en équilibre^ la somme algébrique des moments des forces par rapport à une droite quelconque est égale à zàro.

II reste à montrer que ces conditions, qui paraissent en nombre infini, se réduisent à six conditions distinctest

Imprimons au système solide un déplacement arbitraire infiniment petit; nous savons (I, g 158) que tout déplacement élémentaire d'un système invariable est décomposable en deux mouvements élémentaires, savoir une translation et une rotation autour d'un axe, et qu'on peut regarder cet axe comme passant par un point quelconque du système, en disposant de la translation en conséquence. La translation peut ensuite être décomposée en trois translations, et la rotation en trois rotations distinctes, en appliquant à chacun de ces mouvements la règle du parallélépipède. Cela étant, par un point 0 pris arbitrairement dans l'espace, menons trois axes rectangulaires OX, OY, OZ; décomposons le déplacement élémentaire imprimé au solide en une rotation infiniment petite

D'ÉQUILIBRE. lOS

autour d*un axe OA, passant par le point 0, rotation qui peut être représentée par la droite OA, et en une translation infiniment petite représentée en grandeur et en direction par une autre droite, OB. Puis décomposons suivant les trois axes les deux droites OA et OB ; appelons p, 9, r les trois composantes de la rotation OA, et Ç, yj, i; les trois composantes de la translation OB. Pour trouver le travail d'une force ' (g 113) on peut décomposer comme on voudra celle force et le chemin décrit par son point d'application. Le chemin décrit par un point quelconque M du corps est la résultante des trois déplacements Ç, iq, C, parallèles aux axes, déplacements dus à la translation et communs à tous les points du solide, et des trois rotations, p, 9, r, du solide autour des mêmes axes.

Décomposons de même en trois composantes X, Y, Z les forces appliquées aux divers points M. 11 restera à associer chacune des composantes à chacun des déplacements, puis à faire la somme des produits résultants.

Relativement au déplacement Ç, les forces T et Z, perpendiculaires à ce déplacement, ne donnent rien, et le travail se réduit à XÇ; la somme des travaux sera donc exprimée par

Pig. 121.

XiÇ+XjS+XjÇ.

.+XIIÇ.

ou bien par

somme étendue à toutes les composantes parallèles à Taxe OX.

De même, le déplacement t) donnera une somme de u*avaux égale à

et le déplacement ( une somme égale à

u. ^ %ic, couiaioM.