Deuxième cas. — Le corps solide a un point fixe

Imprimons au solide un déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons; ce déplacement consistera (I, g 151)

D'ÉQUIUBRB. itf5

en une rotation inCniment petite autour d*une droite OA passant par le point 0 ; la somme des travaux des tbrces sera égale à la somme algébrique de leurs moments par rapport à raxeOA, multipliée par le déplacement angulaire du corps ; le théorème du travail virtuel montre donc que la somme algébrique des moments des forces extérieures^ par rapport à toute droite passant par le point 0, est égale à zéro.

Si l'on imprimait au corps un déplacement virtuel non compatible avec les liaisons, par exemple une rotation infiniment petite autour d'un axe ne passant pas par le point 0, on obtiendrait un théorème analogue, mais il faudrait comprendre dans renoncé de ce théorème le moment de la réaction du point fixe. L'adoption de déplacements compatibles avec les liaisons a en général pour objet d'éliminer les réactions inconnues.

Par le point 0 menons trois axes rectangulaires, et décomposons la rotation autour de OA en trois rotations autour de chacun des axes. La somme des travaux élémentaires des forces sera égale à la somme algébrique des produits obtenus en multipliant respectivement les sommes des moments pris par rapport aux axes, par les déplacements angulaires correspondants; égalant à zéro la somme résultante, on aura l'équation générale de réquilibre, équation qui se décomposera en trois autres, en tenant compte de l'indétermination des arbitraires» En résumé, on retrouvera les trois équations d'équilibre (g 88), exprimant que les soihmes des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires sont séparément nulles.

129. Troisième cas. — Le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Le seul déplacement compatible avec les liaisons sera une rotation infiniment petite autour de l'axe ^ la somme des travaux des forces extérieures sera donc égale à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à l'axe, multipliée par lé déplacement angulaire, et l'application du théorème conduit ainsi à égaler à zéro la somme des moments des forces par rapport à Taxe de rotation (g 89).

Ici encore, le choix du déplacement virtuel a pour consô-

i96 ÉQUILIBRE DUN SOLIDE

quence d'éliminer les réactions inconnues , c'est-à-dire les forces tenant lieu des liaisons.

130. Quatrième cas. — Le corps solide est assujetti à glisser sans frottement sur un plan fixe.

1^ Si le contact du corps et du plan est établi par un point unique, les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons pourront consister en une translation parallèle au plan et en une rotation autour d'un axe mené par le point. Ces mouvements sont décomposables, le premier en deux translations parallèles à deux axes rectangulaires tracés dans le plan fixe par le point de contact, le second en trois rotations, dont deux autour de ces deux mêmes axes, et la troisième autour de la normale au plan. Les conditions d'équilibre sont donc au nombre de cinq, savoir : deux équations exprimant que la somme algébrique des forces projetées sur chacun des axes tracés dans le plan est nulle; et trois équations exprimant que la somme algébrique des moments par rapport à chacun des trois axes est aussi nulle (| 91, 1«).

Le corps peut être simplement posé sur le plan; on pourra admettre comme compatible avec les liaisons un déplacement parallèle à la normale au plan, mais dirigé dans un sens particulier. A ce déplacement correspond un travail positif de la réaction du plan, et ce travail, ajouté aux travaux des autres forces, doit donner zéro pour somme. On doit donc joindre une condition aux cinq que nous avons déjà posées : la somme des travaux correspondants à un déplacement du corps parallèle à la normale, dans le sens où ce déplacement est admissible, doit être négative; en d'autres termes la somme des projections sur la normale des forces extérieures qui tendent à appuyer le corps contre le plan, doit être plus grande en valeur absolue que la somme des projections contraires.

^ Si le contact est établi par deux points, il n'y aura plus lieu de considérer que trois déplacements distincts, savoir : deux translations parallèles respectivement à deux axes rectangulaires tracés dans le plan, et deux rotations, Tune au-

POSE SUR UN PLAN FIIE; i»7

tour delà droite menée par les deux points de contact, l'autre autour de la normale au plan. De là quatre conditions d'équilibre : deux relatives aux sommes algébriques des forces projetées sur les deux axes, et deux relatives à la somme des moments par rapport è la normale et à la droite qui joint les points d'appui. Ces quatre sommes devront être nulles pour l'équilibre (g 91, 2').

Si le corps est posé sur le plan, on pourra admettre tous les déplacements qui détachent le corps de son plan d'appui; à ces déplacements correspondront des travaux positifs des réac* lions normales, et par suite la somme des travaux des forces données doit être négative. Soient A et B les deux points d'appui. Prenons pour axes dans le plan fixe la droite ÂB et une droite AC, perpendiculaire à AB; puis, pour troisième axe, la normale AD, menée par le point A. Les six déplacements élémentaires distincts auxquels se ramène un déplacement virtuel quelconque, se réduisent à trois translations parallèles à AB, à AC et à AD, et à trois rotations autour des mêmes droites ; les deux premières translations sont possibles dans les deux sens, et la somme ^^^- ^^ des travaux correspondants à chacune d'elles doit par conséquent être égale à zéro. La troisième n'est possible que dans un sens particulier, et la présence du plan l'empêche en sens contraire ; la somme des travaux correspondants doit donc être nulle ou négative. Des trois rotations, celles qui s'efiectuent autour de AB ou de AD sont possibles dans les deux sens : les sommes des moments des forces autour de ces axes sont donc nulles ; tandis que la troisième, autour de AC, n'est possible que dans un sens unique, celui qui détache le corps du plan au point B ; la somme des moments des forces données par rapport à l'axe AC doit donc être négative.

S"! Enfin, s'il y a trois points d'appui non en ligne droite, on imprimera au corps deux translations parallèles au plan, ou une rotation autour d'une normale au plan, ce qui donnera