THÉORËME DU TRAVAIL VIRTUEL

trois équations d'équilibre ; déplus, on pourra admettre, si le corps est simplement posé, une translation normale au plan, et des rotations autour de deux axes situés dans le plan, mais avec certaines restrictions : la translation devra s'opérer dans un sens défmi ; les rotations ne pourront s'effectuer que dans un sens particulier, et autour d'axes qui ne traversent pas lepolygone formé en joignant les points d^appui. Car une rotation autour d'un axe qui laisserait les points d'appui de différents cétés de sa direction, tendrait à faire pénétrer le corps dans le plan en certains points, en même temps qu'elle tendrait à l'en détacher en d'autres. Elle serait donc incompatible avec la nature des liaisons. En résumé, les conditions d'équilibre sont les suivantes : la somme des forces projetées sur deux axes rectangulaires tracés dans le plan, et la somme des moments par rapport à une normale au plan, doivent être séparément nulles ; si Ton projette les forces sur la normale, la somme des projections qui tendent è appuyer le corps contre le plan doit être supérieure (en valeur absolue) à la somme des projections qui agissent en sens contraire; et si l'on prend les moments des forces par rapport à deux axes rectangulaires laissant chacun les points d'appui d'un même côté de leur direction, la somme des moments des forces qui tendent à appuyer le corps contre le plan doit être plus grande en valeur absolue que la somme des moments des forces qui tendent à le faire tourner en sens opposé.

Nous retrouvons ainsi toutes les conditions établies précédemment par la méthode de la composition des forces.

THÉORÈME DU TRAVAIL VmTUEL POUR UN SYSTÈME MATÉRIEL QLELCOKQUE.

131. Un système matériel peut toujours être considéré comme formé de points matériels libres, sollicités par des forces; nous avons vu (§ 8) que ces forces peuvent être parlagées eu deux grandes classes, savoir : les forces extérieures^

POUR m SYSTÈME MATÉRIEL. iW

qui sont dirigées vers des points étrangers au système, et les forces intérieures, forces mutuelles qui s'exercent d'un point du syslème à un autre point. Les liaisons, quelles qu'elles soient, peuvent être remplacées par des forces équivalentes, et ces forces se partagent entre les deux classes que nous venons d'indiquer ; les unes sont des forces extérieures, telles que les réactions d'un point fixe, d'un axe fixe, d'une surface fixe,...; les autres, des forces intérieures mutuelles, telles que la tension d'un fil ou d'une barre réunissant deux points du système l'un à l'autre. Si nous remplaçons les liaisons par des forces équivalentes, les points matériels qui forment le système pourront être considérés comme libres, et le théorème du travail virtuel s'appliquera à l'équilibre de chacun d'eux. Quelque déplacement infiniment petit qu'on imprime à chaque point, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sollicitent ce point en particulier sera nulle, puisqu'il est en équilibre , et , par suite, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sont appliquées au système, forces extérieures, forces intérieures, forces tenant lieu des liaisons, est aussi égale à zéro. Réciproquement, si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour fout déplacement du système, Téquilibre a lieu. Car les points étant tous libres et indépendants les uns des autres, prenons pour déplacement virtuel le déplacement d'un point en particulier, et laissons fixes tous les autres points. La somme des travaux virtuels de toutes les forces se réduira à la softime des travaux des forces appliquées à ce point ; cette somme étant nulle, le point est en équilibre (g 115). Le même raisonnement peut être fait pour un point quelconque : par conséquent, l'équilibre de toutes les parties du système est assuré si les conditions énoncées dans le théorème sont satisfaites.

152. Le théorème ainsi formulé est remarquable par sa généralité, mais il est sans usage dans les applications de la statique, tant qu'on n'en restreint pas Ténoncé par des conditions particulières, car il conduirait simplement à exprimer les con-

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ditions d'équilibre de chaque point en particulier ; la méthode fondée sur l'emploi du théorème du travail virtuel a au contraire pour objet d'éliminer les forces inconnues, et de découvrir les équations de condition qui doivent exister entre les forces données pour qu'il y ait équilibre. On choisit pour cela, parmi tous les déplacements possibles ^ ceux auxquels correspondent des travaux nuls pour les forces inconnues.

Par exemple, veut-on éliminer les forces intérieures et avoir des relations entre les forces extérieures seules? On imprimera au système des déplacements qui laissent invariables les distances mutuelles des divers points matériels. Le travail de deux forces mutuelles, égal au produit de leur valeur commune par la variation, positive ou négative, de la distance de leurs points d*application (§ 123) , est nul si cette distance demeure constante, et par suite, les forces intérieures seront éliminées. Il restera donc seulement le travail des forces extérieures; mais le système peut alors être considéré comme un solide géométrique. On parvient par la considération de ces déplacements aux six équations d'équilibre d'un système solide, dans lesquelles les forces extérieures figurent seules. Nous retombons ainsi sur les théorèmes démontrés au § 93.

133. En général, pour éliminer le travail dû aux forces qui tiennent lieu des liaisons, il sufût d'imprimer au système des déplacements compatibles avec ces liaisons. Nous nous borneronsà vérifier cette règle dans les principaux cas qui peuvent se présenter.

l"" Si le système est assujetti à tourner autour d'un point fixe, ou d'un axe 6xe, la réaction du point ou les réactions de Taxe sont des forces extérieures qui ne produisent aucun travail, tant qu'on imprime au système des déplacements compatibles avec la fixité de Taxe ou du point.

2"^ On peut en dire autant des forces appliquées à un système assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe, sans pouvoir s'en détacher, car la réaction de la surface en chaque point de contact est normale. Nous excluons ici le cas où le