ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME

ment petites du point N par lequel se touchent les deux surfaces; on peut les regarder comme appartenant au plan tangent commun mené aux deux surfaces par ce point ; ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan tangent au point M^ . Il diffère infiniment peu d'un plan normal à la droite RR'; par suite, la dislance mm' est un infiniment petit du second ordre, et enfin la différence Mm' — Mm est égale à zéro, aux infiniment petits du second ordre près. La somme des travaux virtuels des forces R et R' est donc égale à zéro, et la proposition est vérifiée.

Si les surfaces S et S' exerçaient un frottement Tune sur l'autre, il n'en serait plus de même, car la réaction muluelle pourrait être oblique aux deux surfaces, et fournir un certain travail.

Dans tous les cas que nous venons d'examiner, on n'aura pas à évaluer le travail virtuel des forces dues aux liaisons, si Ton imprime au système des déplacements qui soient compatibles avec ces liaisons, c'est-à-dire qui les laissent subsister pendant le déplacement.

134. Mais alors la démonstration de la réciproque du théorème général (§ 131) doit être modifiée. Nous avons d'abord établi que lorsqu'un système matériel est en équilibre^ la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui le sollicitent^ pour un déplacement virtuel quelconque, est égale à zéro; cette proposition s'applique aux déplacements compatibles avec les liaisons comme à tous les autres, et nous venons de montrer que pour ceux-là en particulier le travail des forces dues aux liaisons est identiquement nul. Nous avons ensuite démontré la réciproque : si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre. Mais, pour cela, nous avons considéré des déplacements affectant un point unique du système, et laissant les autres immobiles. Cette hypothèse suppose les points matériels libres et indépendants, et elle est contradictoire avec l'existence de liaisons que les déplacements imprimés au système doivent laisser subsister. Nous avons donc à démontrer pour ainsi

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dire un nouveau théorème, qu'on peut énoncer comme il suit : Un système à liaisons est en équilibre, lorsque la somme des travaux virtuels des forces^ soit extérieures j soit intérieures^ qui le sollicitent^ est égale à %éro pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

La démonstration est facile en employant la réduction à Pabsurde. Supposons que la condition soit remplie, et que le système matériel ne soit point en équilibre. L'équilibre n'existant pas, le système prendra un mouvement bien défini, lequel sera nécessairement compatible avec les liaisons; le premier pas du système dans le mouvement qu'il va prendre peut donc être regardé comme Tun des déplacements virtuels compris dans l'énoncé du théorème, et par suite la somme des travaux des forces est nulle pour ce déplacement particulier. Hais nous pouvons empêcher le mouvement du système en appliquant en ses divers points des forces convenables, dirigées en sens contraire du mouvement qui tend à se produire, n y aura alors équilibre entre les forces primitivement appliquées au système et les nouvelles forces qu'on vient d'y ajouter ; la somme des travaux de toutes ces forces est donc nulle, en vertu de la proposition directe. Or la somme des travaux des forces primitives est nulle par hypothèse. La somme des travaux des nouvelles forces est donc nulle aussi : ce qui est impossible, car chacune de ces forces, agissant en sens contraire du déplacement admis pour son point d'application, a un travail négatif, et la somme de leurs travaux est aussi négative. L'hypothèse du mouvement conduisant ainsi à une contradiction, le système est en équilibre.